[論文レビュー] An implementation of CAD in Maple utilising problem formulation, equational constraints and truth-table invariance

Matthew England|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2013

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

この論文では、マップルにおけるCylindrical Algebraic Decomposition（CAD）の強化された実装を提示し、等式制約と真理値表不変性を導入することで、CAD計算におけるセル数を顕著に削減している。等式制約のための改善された射影およびリフトフェーズを統合し、TTICADをより広い入力に拡張することで、既存のツールと比較して優れた効率性とスケーラビリティを達成しており、テスト例ではセル数が最大75%まで削減された。

ABSTRACT

Cylindrical algebraic decomposition (CAD) is an important tool for the investigation of semi-algebraic sets, with applications within algebraic geometry and beyond. We recently reported on a new implementation of CAD in Maple which implemented the original algorithm of Collins and the subsequent improvement to projection by McCallum. Our implementation was in contrast to Maple's in-built CAD command, based on a quite separate theory. Although initially developed as an investigative tool to compare the algorithms, we found and reported that our code offered functionality not currently available in any other existing implementations. One particularly important piece of functionality is the ability to produce order-invariant CADs. This has allowed us to extend the implementation to produce CADs invariant with respect to either equational constraints (ECCADs) or the truth-tables of sequences of formulae (TTICADs). This new functionality is contained in the second release of our code, along with commands to consider problem formulation which can be a major factor in the tractability of a CAD. In the report we describe the new functionality and some theoretical discoveries it prompted. We describe how the CADs produced using equational constraints are able to take advantage of not just improved projection but also improvements in the lifting phase. We also present an extension to the original TTICAD algorithm which increases both the applicability of TTICAD and its relative benefit over other algorithms. The code and an introductory Maple worksheet / pdf demonstrating the full functionality of the package are freely available online.

研究の動機と目的

• 標準的な符号不変性を超える高度な不変性タイプをサポートするマップルにおける新しいCAD実装を開発すること。
• 既存のCADツールの限界を克服し、等式制約に基づく分解（ECCAD）と真理値表不変CAD（TTICAD）を可能にすること。
• 最適な入力構造を求める問題定式化ヒューリスティクスを組み込むことで、計算の tractability（取り扱いやすさ）を向上させること。
• グローバルな等式制約のない式に対してもTTICADの適用範囲を拡大し、実用的有用性を高めること。

提案手法

• 実装はコリンズの元来のCADアルゴリズムとマッカロウの改善された射影作用素に基づく射影およびリフトフェーズを使用している。
• 等式制約を用いて射影およびリフトフェーズを精緻化し、最終的なCADにおけるセル数を削減している。
• 真理値表不変性はTTICADアルゴリズムの拡張により実装されており、複数の式の論理的構造に基づく分解を可能にしている。
• 複数の入力定式化をサポートし、計算に最も効率的なものを選択するためのヒューリスティクスを備えている。
• グローバルな等式制約のない式を処理できる新しいアルゴリズムが開発され、TTICADの適用範囲が拡大された。
• 実装は、完全なドキュメンテーションとコード・チュートリアルの公開を含むProjectionCADマップルパッケージに統合されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等式制約は、CAD計算における射影およびリフトフェーズの両方をどの程度改善できるか？
• RQ2 複雑な式に対して、TTICADは標準的な符号不変CADと比較して、セル数削減の観点でどの程度優れているか？
• RQ3 グローバルな等式制約のない式に対しても、TTICADは効率性の利点を維持したまま拡張可能か？
• RQ4 異なる問題定式化は、CAD構築の計算複雑度にどの程度影響を与えるか？
• RQ5 新しいProjectionCAD実装は、Qepcadや他の最先端CADツールと比較して、相対的にどの程度のパフォーマンスを示すか？

主な発見

• 式Φ₁では、TTICADによりセル数が83（完全な符号不変CAD）から53にまで削減され、35.0％の削減が達成された。
• 式Φ₃では、TTICADが157セルを達成した一方で、完全CADでは695セルであったため、セル数は77.4％削減された。
• グローバルな等式制約のないケースでは、TTICADは依然として適用可能であったが、ECCADおよび制約を明示したQepcadは失敗しており、TTICADの独自の有用性が示された。
• 拡張されたTTICADアルゴリズムにより、従来その範囲外とされていた式に対しても適用可能となり、他の手法に対する相対的利点が向上した。
• 新しい実装は、セル数と計算時間の両面で競争力のあるパフォーマンスを発揮し、遅延時間はやや長かったものの、Qepcadよりもセル効率が優れていた。
• 問題定式化ヒューリスティクスによりセル数が顕著に削減され、テスト例では最良の定式化により複雑度が最大75％まで低減された。