[論文レビュー] An Introduction to Non-diffusive Transport Models

Alexandre Bovet|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2015

Diffusion and Search Dynamics参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、古典的拡散の一般化としての非拡散的輸送モデルを紹介し、長距離相関と非ガウス的統計を記述するための連続時間ランダムウォーク（CTRW）および分数ラプラス運動（fLm）に焦点を当てる。主な貢献は、ハースト指数と安定性指数を用いて準拡散、拡散、超拡散の各領域を捉える、時間に依存する拡散係数を有する空間分数拡散方程式の導出である。

ABSTRACT

The process of diffusion is the most elementary stochastic transport process. Brownian motion, the representative model of diffusion, played a important role in the advancement of scientific fields such as physics, chemistry, biology and finance. However, in recent decades, non-diffusive transport processes with non-Brownian statistics were observed experimentally in a multitude of scientific fields. Examples include human travel, in-cell dynamics, the motion of bright points on the solar surface, the transport of charge carriers in amorphous semiconductors, the propagation of contaminants in groundwater, the search patterns of foraging animals and the transport of energetic particles in turbulent plasmas. These examples showed that the assumptions of the classical diffusion paradigm, assuming an underlying uncorrelated (Markovian), Gaussian stochastic process, need to be relaxed to describe transport processes exhibiting a non-local character and exhibiting long-range correlations. This article does not aim at presenting a complete review of non-diffusive transport, but rather an introduction for readers not familiar with the topic. For more in depth reviews, we recommend some references in the following. First, we recall the basics of the classical diffusion model and then we present two approaches of possible generalizations of this model: the Continuous-Time-Random-Walk (CTRW) and the fractional Lévy motion (fLm).

研究の動機と目的

• 古典的ブラウン運動およびガウス分布から逸脱する非拡散的輸送過程の基礎的理解を提供すること。
• 長距離時間的および空間的相関を有する系を記述する上で古典的拡散の限界を明らかにすること。
• 連続時間ランダムウォーク（CTRW）および分数ラプラス運動（fLm）という2つの主要な一般化を導入し、異常輸送の枠組みを提示すること。
• fLmの輸送方程式を、時間に依存する拡散係数を有する空間分数拡散方程式として導出すること。
• ハースト指数および安定性指数が輸送領域（準拡散、超拡散、正規拡散）を特徴付ける役割を明確にすること。

提案手法

• マスター方程式およびクラマース＝モーリー展開を用いた、古典的拡散におけるフォッカー＝プランク方程式の形式的導出。
• 非マークフィアンで非ガウス的輸送をモデル化するための、重い尾を持つ待ち時間およびジャンプ長を有する連続時間ランダムウォーク（CTRW）モデルの導入。
• CTRWフレームワーク内でのレヴィ飛行（無限の分散）とレヴィウォーク（有限の分散、有限の速度）の区別。
• 分数ガウスノイズを用いたラングジュアンアプローチを適用し、分数ブラウン運動（fBm）および分数ラプラス運動（fLm）を導出すること。
• 時間に依存する拡散係数を有する空間分数拡散方程式の導出：∂ₜn = K t^{β−1} ∂_x^α n、ここでαおよびβは安定性指数および時間指数である。
• 経路積分法を用いて、fLmの伝搬関数がx/t^{H}に依存するレヴィ安定分布であることを示し、H = β/αである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レヴィ飛行やレヴィウォークといった非拡散的輸送過程は、どのように古典的ブラウン運動を一般化するか？
• RQ2 分数ラプラス運動（fLm）の統計的性質は何か？ また、分数ブラウン運動（fBm）とはどのように異なるか？
• RQ3 ハースト指数H = β/αは、輸送ダイナミクスにおける時間的相関の性質をどのように決定するか？
• RQ4 fLmの輸送方程式の形は何か？ また、古典的拡散方程式をどのように一般化するか？
• RQ5 αおよびβがどのような条件下でfLmプロセスが準拡散、拡散、または超拡散的となるか？

主な発見

• 分数ラプラス運動の輸送方程式は、時間に依存する拡散係数を有する空間分数拡散方程式である：∂ₜn = K t^{β−1} ∂_x^α n。
• fLmの伝搬関数は、スケーリング変数x/t^{H}に依存するレヴィ安定分布であり、H = β/αである。これは、プロセスの自己相似性を確認する。
• α = 2およびβ = 1（H = 0.5）の場合、モデルは古典的拡散に還元され、標準的なフォッカー＝プランク方程式が回復される。
• β < α（H < 1）のとき準拡散、β > α（H > 1）のとき超拡散、β = α（H = 1）のとき正規拡散が生じる。
• 本モデルは、β ≠ 1による長距離時間的相関と、α < 2による重い尾を持つ空間的インクリメントを両方とも許容し、非マークフィアン的および非ガウス的行動を捉える。
• βの許容範囲は制限されている：α < 1の場合は0 < β ≤ 1、α ≥ 1の場合は0 < β ≤ αであり、プロセスの物理的整合性を保証する。