[論文レビュー] An operadic approach to deformation quantization of compatible Poisson brackets

Vladimir Dotsenko|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、リヴネル–ロジュー代数の2括弧版を構成することで、相性のとれたポアソン括弧の変形量子化の代数的枠組みを提示する。このホモトピー的構造を用いて、2つの相性のとれたポアソン構造の変形量子化を体系的に定義する手法を提唱し、古典的なポアソン幾何学における代数的枠組みを拡張し、括弧の相性関係が存在する場合の変形量子化を研究するための新たな代数的ツールを提供する。

ABSTRACT

Abstract. We construct an analogue of the Livernet–Loday operad for two compatible brackets. The Livernet–Loday operad can be used to define ⋆-products and deformation quantization for Poisson structures. We make use of our operad in the same way, introducing a definition of (operadic) deformation quantization of compatible Poisson structures. AMS MSC 2000: 53D55 (Primary); 18D50 (Secondary). 1.

研究の動機と目的

• リヴネル–ロジュー代数の枠組みを、当初は1つのポアソン構造に限られていたのを、相性のとれたポアソン括弧の状況に拡張すること。
• 複数の相性のとれたポアソン括弧が存在する状況において、体系的な代数的手法が欠如している問題を解決すること。
• 一般化された代数的構造を用いて、相性のとれたポアソン構造の代数的変形量子化を定義すること。
• 双ハミルトニアン系や関連する可積分構造の文脈において、変形量子化を研究する基盤を確立すること。

提案手法

• 2つの相性のとれた括弧を同時に扱えるように一般化されたリヴネル–ロジュー代数の枠組みを構築すること。
• 2つのポアソン括弧の相性関係とジャコビ恒等式を符号化する生成子と関係式を用いて、代数的構造を定義すること。
• この代数的構造を用いて、2つのポアソン構造と両立する⋆-積のクラスを定義すること。
• この代数的構造を用いて、2つの括弧の相性を尊重する変形量子化手続きを定義すること。
• 得られる変形量子化が、代数的構造の整合性を保ち、古典的ケースを一般化することを保証すること。
• 代数的構造の普遍性を用いて、相性のとれたポアソン構造の形式的変形量子化を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リヴネル–ロジュー代数は、2つの相性のとれたポアソン括弧を同時に扱えるようにどのように一般化できるか。
• RQ2 相性のとれたポアソン括弧が存在する状況において、変形量子化を支配する代数的構造は何か。
• RQ3 2つのポアソン括弧とその相性関係を両立する整合的な⋆-積を定義することは可能か。
• RQ4 2つの括弧の相性とその変形量子化を保証するために、代数的構造に必要な関係式は何か。
• RQ5 代数的枠組みは、古典的な変形量子化を、相性のとれたポアソン構造の状況にどのように拡張するか。

主な発見

• 著者らは、相性のとれたポアソン構造に一般化された2括弧型代数的構造を成功裏に構築した。
• 新規に構築された代数的構造は、2つのポアソン括弧と両立する⋆-積を定義する普遍的な枠組みを提供する。
• 代数的構造に基づく変形量子化手続きは、整合的であり、2つのポアソン括弧の相性条件を尊重する。
• この構成は、代数的代数的構造を用いた古典的変形量子化を、相性のとれたポアソン構造の状況に一般化する。
• 新規に導入された代数的構造を用いて、相性のとれたポアソン構造の形式的変形量子化を確立し、ポアソン幾何学における代数的枠組みの適用範囲を拡張した。