[論文レビュー] An Optimal Transport View On Schroedinger's Equation

Max‐K. von Renesse|ArXiv.org|Apr 29, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、シュレーディンガー方程式と確率測度のウォサースタイン空間上のハミルトニアン力学の間の幾何的同値性を確立し、シュレーディンガー方程式がウォサースタインリーマン計量の下でニュートンの運動法則の上に引き上げられたものとして現れることを示している。主な貢献は、マデルング変換によるシンプレクティック同型写像であり、量子力学的運動を最適輸送幾何と結びつける。この際、古典的エネルギーと量子フィッシャー情報量を組み合わせたポテンシャルが現れる。

ABSTRACT

We show that the Schroedinger equation is a lift of Newton's law of motion on the space of probability measures, where derivatives are taken w.r.t. the Wasserstein Riemannian metric. Here the potential is the sum of the total classical potential energy of the extended system and its Fisher information. The precise relation is established via a well known ('Madelung') transform which is shown to be a symplectic submersion of the standard symplectic structure of complex valued functions into the canonical symplectic space over the Wasserstein space. All computations are conducted in the framework of Otto's formal Riemannian calculus for optimal transportation of probability measures

研究の動機と目的

• 最適輸送理論の枠組み内でシュレーディンガー方程式の幾何的解釈を確立すること。
• シュレーディンガー方程式が確率測度のウォサースタイン空間上のハミルトニアン力学として出現することを示すこと。
• マデルング変換が、波動関数の複素ヒルベルト空間とウォサースタイン空間の間でシンプレクティックな準同型写像として機能することを示すこと。
• ウォサースタイン計量とフィッシャー情報量を用いて、量子力学的運動と古典力学を統合すること。

提案手法

• オットーのフレームワークと2次ウォサースタイン距離 $d_{\mathcal{W}}$ を用いた、確率測度空間上の形式的リーマン幾何学的計算。
• $\mathcal{P}(M)$ 上の汎関数のウォサースタイン勾配の導出、特に $F(\mu) = \langle V,\mu\rangle + \frac{\hbar^2}{8}I(\mu)$ のポテンシャルについて。
• 実数値の確率測度と複素波動関数を結ぶためにマデルング変換 $\Psi = \sqrt{\mu}e^{iS/\hbar}$ の適用。
• $\mathcal{P}(M)$ 上での接ベクトル場の系列 $\dot{\mu}$ に対する共変微分 $\nabla^{\mathcal{W}}_{\dot{\mu}}\dot{\mu}$ がウォサースタイン幾何学における加速度として特定されること。
• 得られた $\mathcal{P}(M)$ 上の流れが、$F$ を定義した条件下で $\nabla^{\mathcal{W}}_{\dot{\mu}}\dot{\mu} = -\nabla^{\mathcal{W}}F(\mu)$ を満たすニュートンの法則に従うことを証明すること。
• 波動関数を $T_{\mu}\mathcal{P}(M)$ 内の速度場へ引き上げる写像 $\sigma$ を通じて、シュレーディンガー方程式とハミルトニアン力学との間のシンプレクティック同値性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュレーディンガー方程式は、確率測度のウォサースタイン空間上のハミルトニアン力学として解釈可能か？
• RQ2 フィッシャー情報関数 $I(\mu)$ は、ポテンシャル $F(\mu)$ においてどのように量子補正項として現れるか？
• RQ3 マデルング変換が、量子力学的運動と最適輸送の間の幾何的役割を果たす正確な役割は何か？
• RQ4 $L^2$-値の波動関数上の標準的シンプレクティック構造と、ウォサースタイン空間上の自然なシンプレクティック構造との間にシンプレクティック同型写像が存在するか？
• RQ5 古典的極限 ($\hbar \to 0$) において、この幾何的定式化からニュートン力学がどのように回復されるか？

主な発見

• シュレーディンガー方程式は、ウォサースタイン空間 $\mathcal{P}(M)$ 上のハミルトニアン力学と幾何学的に同値であり、$F(\mu) = \langle V,\mu\rangle + \frac{\hbar^2}{8}I(\mu)$ を用いて $\nabla^{\mathcal{W}}_{\dot{\mu}}\dot{\mu} = -\nabla^{\mathcal{W}}F(\mu)$ で記述される。
• マデルング変換 $\Psi = \sqrt{\mu}e^{iS/\hbar}$ は、複素数値関数上の標準的シンプレクティック構造から $T\mathcal{P}(M)$ 上の自然なシンプレクティック構造へのシンプレクティックな準同型写像である。
• ウォサースタイン計量における運動エネルギーは、古典的運動エネルギーと量子フィッシャー情報量の和に対応し、$\frac{\hbar^2}{8}I(\mu)$ が量子補正項を表す。
• シュレーディンガー方程式のハミルトニアン $H_S = \int |\nabla\Psi|^2 dx + \int |\Psi|^2 V dx$ は、シンプレクティック写像 $\sigma$ の下で、$H_F = \frac{1}{2}\|\psi\|^2_{T_\mu\mathcal{P}} + F(\mu)$ に等しい。
• 古典的極限 $\hbar \to 0$ において、$\mu = \delta_x$ かつ $I(\mu) \to 0$ であることから、ニュートンの運動法則が回復される。
• ウォサースタイン幾何学における共変微分は $\nabla^{\mathcal{W}}_{\dot{\mu}}\dot{\mu} = V_{\partial_t\phi + \frac{1}{2}|\nabla\phi|^2}$ を与え、流体力学と量子力学を結びつける。