[論文レビュー] Analytic torsion for twisted de Rham complexes

Varghese Mathai, Siye Wu|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 42被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、コンpactな向き付け可能リーマン多様体 $X$ 上の平坦ベクトル bundle $\mathcal{E}$ と奇数次元の閉形式のフラックス $H$ を持つ、ねじれ de Rham 複体に対する解析 torsion を、ゼータ正則化された行列式と擬微分作用素のトレースを用いて定義する。主な結果として、$\dim X$ が奇数のとき、torsion は計量およびそのコhomology類内でのフラックス代表元の選び方に依存しない。さらに、3形式フラックスを持つ円分岐被覆の $T$-双対性に関して、torsion は $(2\pi)^{\chi(M)}$ の因子を除いて互いに逆数の関係にある。

ABSTRACT

We define analytic torsion for the twisted de Rham complex, consisting of the spaces of differential forms on a compact oriented Riemannian manifold X valued in a flat vector bundle E, with a differential given by a flat connection on E plus an odd-degree closed differential form H on X. The difficulty lies in the fact that the twisted de Rham complex is only Z_2-graded, and so the definition of analytic torsion in this case uses pseudo-differential operators and residue traces. We show that when dim X is odd, then the twisted analytic torsion is independent of the choice of metrics on X and E and of the representative H in the cohomology class of H. We define twisted analytic torsion in the context of generalized geometry and show that when H is a 3-form, the deformation H -> H - dB, where B is a 2-form on X, is equivalent to deforming a usual metric g to a generalized metric (g,B). We establish some basic functorial properties. When H is a top-degree form, we compute the torsion, define its simplicial counterpart and prove an analogue of the Cheeger-Muller Theorem. We also study the relationship of the analytic torsion for T-dual circle bundles with integral 3-form fluxes.

研究の動機と目的

• フラックス形式を伴う twisted de Rham 複体への Ray-Singer の解析 torsion の拡張を動機づけ、古典的 Cheeger-Müller 定理の一般化を図ること。
• 標準的な $\mathbb{Z}$-次数付き技法が失敗する、ねじれ de Rham 複体の $\mathbb{Z}_2$-次数付き設定における解析 torsion の定義の課題に対処すること。
• 特に $\dim X$ が奇数のとき、計量およびフラックス代表元の選び方に依存しない torsion の不変性を確立し、幾何的不変性の重要な性質を示すこと。
• $H \mapsto H - dB$ の変換が標準計量 $g$ を一般化計量 $(g,B)$ に変形することに対応することを示し、一般化幾何学と結びつけること。
• 整数 $3$-形式フラックスを持つ円分岐被覆に対して $T$-双対性の下での torsion の振る舞いを調査し、双対空間上の torsion 間の関係を確立すること。

提案手法

• 部分ラプラシアンのゼータ正則化行列式の比として、$\tau(X,\mathcal{E},H) \in \det H^\bullet(X,\mathcal{E},H)$ を定義し、コhomology の体積要素で補正する。
• 擬微分作用素の射影と、その消える非可換 (Guillemin-Wodzicki) トレースを用いて、正則化された行列式の定義が正当化されることを保証する。
• 奇数次元多様体に対して計量不変性を証明し、$X$ 上のリーマン計量および $\mathcal{E}$ 上のエルミート計量の変更に対して torsion が不変であることを示す。
• 滑らかなホモトピーおよび $H$ のスケーリング（$\deg H \geq 3$ のとき）に対して torsion が不変であり、かつ $B$ を $2$-形式として $H \mapsto H - dB$ に対しても不変であることを確立する。
• 変換 $H \mapsto H - dB$ が一般化幾何学的構造の変化に対応する一般化計量 $(g,B)$ を構成し、物理的ストリング理論モデルと関連付ける。
• スペクトル系列と Gysin 系列を用いて、曲面へ射影される $3$-多様体のケースで torsion を明示的に計算し、単体的 torsion と整合性があることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数次元のフラックス形式 $H$ を持つ $\mathbb{Z}_2$-次数付き twisted de Rham 複体に対する解析 torsion の正しい一般化は何か？
• RQ2 特に奇数次元において、$X$ 上のリーマン計量および $\mathcal{E}$ 上のエルミート計量の変更に対して、解析 torsion はどのように振る舞うか？
• RQ3 タイプIIストリング理論における $T$-双対性と、$3$-形式フラックスを持つ円分岐被覆に対して、ねじれ解析 torsion との関係は何か？
• RQ4 変換 $H \mapsto H - dB$ の下での torsion の変換則は何か？ そしてこれは一般化幾何学とどのように関係するか？
• RQ5 $H$ が最高次元形式である場合に、解析 torsion を明示的に計算できるか？ また、それは組合せ的（単体的）な類似物と一致するか？

主な発見

• 特に $\dim X$ が奇数のとき、解析 torsion $\tau(X,\mathcal{E},H)$ は $X$ 上のリーマン計量および $\mathcal{E}$ 上のエルミート計量の選び方に依存せず、重要な不変性が成立する。
• 滑らかなホモトピーおよび $H$ のスケーリング（$\deg H \geq 3$ のとき）に対して、および $B$ を $2$-形式として $H \mapsto H - dB$ に対して、torsion は不変であり、コhomology 的安定性を示す。
• $3$-次元の $T$-双対な円分岐被覆で、整数 $3$-形式フラックスを持つ場合、torsion は $\frac{\tau(X,H)}{(2\pi)^{\chi(M)}} = \left[ \frac{\tau(\hat{X},\hat{H})}{(2\pi)^{\chi(M)}} \right]^{-1}$ を満たし、明確な双対性関係を示す。
• $H$ が最高次元形式であるとき、解析 torsion は組合せ的単体的 torsion と一致し、ねじれ設定における Cheeger-Müller 定理の類似を証明する。
• $3$-多様体が曲面へ射影される場合、スペクトル系列を用いて torsion が計算され、$\tau(X,H) = (2\pi)^{\chi(M)} |q p^{-1}| \cdot \eta_{\bar{0}}^{X,H} \otimes (\eta_{\bar{1}}^{X,H})^{-1}$ という式と一致する。ここで $q = [H]$, $p = c_1(X)$ である。
• $T$-双対性の同型写像は $\det H^\bullet(X,H) \cong (\det H^\bullet(\hat{X},\hat{H}))^{-1}$ を与え、torsion はこの同型の下で逆数に変換される。これは深い幾何的双対性を確認する。