[論文レビュー] Another Look at Random Infinite Divisibility

S. Satheesh|ArXiv.org|Apr 30, 2003

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、与えられたラプラス変換から直接確率生成関数（PGF）の族を構築することにより、ランダム無限分解可能性を再定義し、先行研究における制限を克服する。N-和を用いた無限分解可能性分布への収束に関する必要十分条件を確立し、古典的および幾何的和集合スキームにおける吸引域を統一する。

ABSTRACT

The drawbacks in the formulations of random infinite divisibility in Sandhya (1991, 1996), Gnedenko and Korelev (1996), Klebanov and Rachev (1996), Bunge (1996) and Kozubowski and Panorska (1996) are pointed out. For any given Laplace transform, we conceive random (N) infinite divisibility w.r.t a class of probability generating functions derived from the Laplace transform itself. This formulation overcomes the said drawbacks, and the class of probability generating functions is useful in transfer theorems for sums and maximums in general. Generalizing the concepts of attraction (and partial attraction) in the classical and the geometric summation setup to our formulation we show that the domains of attraction (and partial attraction)in all these setups are same. We also establish a necessary and sufficient condition for the convergence to infinitely divisible laws from that of an N-sum and conversely, that is an analogue of Theorem.4.6.5 in Gnedenko and Korelev (1996, p.149). The role of the divisibiltiy of N and the Laplace transform on that of this formulation is also discussed.

研究の動機と目的

• 『砂田、Gnedenko & Korelev、Klebanov & Rachev、Bunge、Kozubowski & Panorska』のランダム無限分解可能性に関する既存の定式化における根本的欠陊を特定・是正すること。
• 与えられた分布のラプラス変換に内在的に関連する新しいランダム無限分解可能性の枠組みを構築すること。
• 古典的、幾何的、N-和和集合スキームにおける吸引域（および部分的吸引域）を統一すること。
• N-和による無限分解可能性分布への収束に関する必要十分条件を確立し、Gnedenko & Korelev（1996）の定理4.6.5に類似させる。

提案手法

• 与えられた分布のラプラス変換から直接、確率生成関数（PGF）の族を導出し、無限分解可能性と整合性を保証する。
• このPGF族に基づいて、一貫性を保ち、従来の定式化の欠陥を回避する新たなランダム無限分解可能性の定義を導入する。
• 導出されたPGF族を用いて、和および最大値に関する転送定理を適用し、収束結果を一般化する。
• ラプラス変換の構造とランダム添え字Nの可除性特性を用いて、N-和の挙動を分析する。
• 特性関数およびラプラス変換の技法を用いて、無限分解可能性分布への収束条件を導出する。
• 新しい定式化を用いて、古典的、幾何的、N-和の和集合スキームにおける吸引域の等価性を実証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既存のランダム無限分解可能性の定式化における根本的欠陥は何か。そして、それらを体系的に是正する方法は何か。
• RQ2 与えられたラプラス変換から直接、より強固なランダム無限分解可能性の定式化を可能にする確率生成関数（PGF）の新クラスを導出可能か。
• RQ3 新しい定式化下で、古典的、幾何的、N-和の設定における吸引域（および部分的吸引域）は等価か。
• RQ4 N-和による無限分解可能性分布への収束に関する必要十分条件は何か。また、既存の定理とどのように関係するか。
• RQ5 ランダム添え字Nの可除性とラプラス変換の構造が、新しいランダム無限分解可能性定式化の構造にどのように寄与するか。

主な発見

• 提案された定式化は、ターゲット分布のラプラス変換に直接基づくPGF族を採用することで、先行研究における主な欠陥を克服する。
• N-和による無限分解可能性分布への収束に関する必要十分条件が確立され、GnedenkoとKorelev（1996）の定理4.6.5に類似した役割を果たす。
• 新しい定式化下で、古典的、幾何的、N-和の和集合スキームにおける吸引域（および部分的吸引域）が同一であることが証明された。
• ラプラス変換から導出されたPGF族が、和および最大値に関する転送定理において有効であることが示され、理論的有用性が向上した。
• ランダム添え字Nの可除性とラプラス変換の構造が、新しい定式化の構造に与える役割が、形式的に分析され明確化された。
• タイプミスが是正され、正式な学術ジャーナルの参考文献が追加され、本稿が『Statistical Methods』2004年、6(2)、123–144に掲載されたことが確認された。