[論文レビュー] Another proof of M. Kontsevich formality theorem

Dmitry Tamarkin|ArXiv.org|Mar 8, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 168

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^n$ における M. コンツェヴィチの形式性定理の別証明を提示する。Hochschildコホホロジーの $C^\infty(\mathbb{R}^n)$ に、ホモトピーGerstenhaber代数構造を構成し、Gerstenhaberの操作子 $e_2$ の分解とHochschildコホモロジーを支配する $B_\infty$-操作子の間の準同型写像を用いて形式性を示す。主な貢献は、余自由コモノイド構造と配置空間上のスペクトル系列を用いた新しい操作子的構成である。

ABSTRACT

The paper contains an alternative proof of M. Kontsevich Formality Theorem.

研究の動機と目的

• HochschildコホモロジーにホモトピーGerstenhaber代数構造を用いて、$\mathbb{R}^n$ におけるコンツェヴィチの形式性定理の別証明を提供すること。
• Hochschildコホモロジー複体 $C^\infty(\mathbb{R}^n)$ が自然な $B_\infty$-代数構造を持つことを確立すること。
• Gerstenhaber操作子 $e_2$ の分解から $B_\infty$-操作子への準同型写像を構成することで、形式性を証明すること。
• Gerstenhaber代数の形式性の障害が $A = S\mathbb{R}^n$ または $C^\infty(\mathbb{R}^n)$ に対して消えることを示し、Hochschildコホモロジー上のGerstenhaber代数が形式的であることを示すこと。
• 余自由コモノイド構造とスペクトル系列を用いて、アソシエイティブ操作子 $As$ の分解から新しい操作子 $\mathcal{F}$ を構成すること。

提案手法

• Etingof-Kazhdanの双代数の量子化に関する定理を用いて、写像 $k: \mathcal{B}_\infty \to e_2$ を構成する。
• 自由分解 $\mathcal{A}$ を用いて、分解されたアソシエイター多面体から成る $\mathcal{A}$ を定義し、新しい操作子 $\mathcal{F}$ を $\mathcal{O}(\mathcal{A})$ として定義する。
• 木の内部頂点によるスペクトル系列のフィルトレーションを用いて、$\mathcal{F}$ と $\mathcal{B}_\infty$ が準同型であることを示す。
• スペクトル系列を $\mathbb{R}^2$ 内の配置空間のFulton-MacPhersonコンパクト化から生じるものと比較し、位相的解釈を確立する。
• Gerstenhaber括弧構造が正しく保たれるように、写像 $s: \mathcal{H}olie\{1\} \to \mathcal{F}$ を構成する。
• $B_\infty$-構造と $e_2$-構造を一致させるために、グレーディングを調整するためのシフト作用 $\mathcal{O}\{m\}$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hochschildコホモロジーの $C^\infty(\mathbb{R}^n)$ の形式性は、コンツェヴィチの元来の方法ではなく、ホモトピーGerstenhaber代数構造を用いて確立可能か？
• RQ2 $S\mathbb{R}^n$ のHochschildコホモロジー上のGerstenhaber代数の形式性の障害は消えるか？
• RQ3 $e_2$-操作子の分解とHochschildコホモロジーを支配する $B_\infty$-操作子の間の自然な準同型写像が存在するか？
• RQ4 $B_\infty$-構造が、新しい操作子的構成を介して $e_2$ の分解からの写像に引き上げられるか？
• RQ5 構成された操作子 $\mathcal{F}$ のホモロジーを計算する際に用いられるスペクトル系列の位相的意味は何か？

主な発見

• 木の内部頂点によるスペクトル系列のフィルトレーションを用いて、$\mathcal{F} \to \mathcal{B}_\infty$ の準同型写像を構成し、$\mathcal{F}$ が $\mathcal{B}_\infty$ の分解であることを示した。
• 関連する次数付きスペクトル系列を分析することで、$\mathcal{F}$ と $\mathcal{B}_\infty$ が準同型であることを示した。このスペクトル系列は、Fulton-MacPhersonコンパクト化から生じるものと類似している。
• 写像 $s: \mathcal{H}olie\{1\} \to \mathcal{F}$ により、Hochschildコホモロジー上のGerstenhaber括弧が正しく誘導されることを確認し、括弧の整合性を検証した。
• $\mathcal{A}$ を $As$ の自由分解として用い、$\mathcal{F} = \mathcal{O}(\mathcal{A})$ とすることで、Gerstenhaber代数構造のための新しいチェーン操作子が得られた。
• $k: \mathcal{B}_\infty \to e_2$ がEtingof-Kazhdanの量子化により存在することが示され、Hochschildコホモロジー上の $e_2$-代数構造が得られた。
• ホモロジー的障害が $A = S\mathbb{R}^n$ および $C^\infty(\mathbb{R}^n)$ に対して消えることが証明され、Hochschildコホモロジー複体の形式性が確認された。