[論文レビュー] Anti De Sitter Space And Holography

Edward Witten|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 1998

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 56被引用数 327

ひとこと要約

この論文は、d次元における conformal field theories (CFT) と (d+1)次元の Anti-de Sitter (AdS) 空間上の中間重力理論の間の正確な双対性を提案している。CFTの相関関数が、中間重力理論の作用が境界条件に依存する様子によって計算されることを示している。主な結果は、CFTにおけるオペレーターの次元が、AdSにおける粒子の質量と正確に一致することであり、これは、$AdS_5 \times S^5$ 上のType IIB中間重力理論におけるKaluza-Kleinモードと、$χ=4$ 超ヤン・ミルズ理論におけるチャーラルオペレーターの一致によって確認されている。

ABSTRACT

Recently, it has been proposed by Maldacena that large $N$ limits of certain conformal field theories in $d$ dimensions can be described in terms of supergravity (and string theory) on the product of $d+1$-dimensional $AdS$ space with a compact manifold. Here we elaborate on this idea and propose a precise correspondence between conformal field theory observables and those of supergravity: correlation functions in conformal field theory are given by the dependence of the supergravity action on the asymptotic behavior at infinity. In particular, dimensions of operators in conformal field theory are given by masses of particles in supergravity. As quantitative confirmation of this correspondence, we note that the Kaluza-Klein modes of Type IIB supergravity on $AdS_5 imes {\bf S}^5$ match with the chiral operators of $\N=4$ super Yang-Mills theory in four dimensions. With some further assumptions, one can deduce a Hamiltonian version of the correspondence and show that the $\N=4$ theory has a large $N$ phase transition related to the thermodynamics of $AdS$ black holes.

研究の動機と目的

• 境界におけるCFTの観測可能性とAdS空間上の中間重力理論の観測可能性の間の明確で計算可能な対応関係を確立すること。
• 高次元における重力的理論と関連付けることで、長年の大Nゲージ理論の理解の課題を解決すること。
• 特に$χ=4$ SYMと$AdS_5 \times S^5$の文脈において、大N CFTにおける相関関数を中間重力理論を用いて計算するメカニズムを提供すること。
• CFTオペレーターの次元が、AdS空間における粒子質量によって決定されることを示し、$AdS_{d+1}$境界をホログラフィックスクリーンとして用いる。

提案手法

• 境界CFTにおける相関関数は、中間重力理論の作用がAdS境界における場の漸近的挙動に依存する関数的依存性によって計算される。
• 境界からオペレーターへの対応関係を用いて、$S^{d-1}$ 上のCFTのヒルベルト空間と、$AdS_{d+1}$ 上の量子化された中間重力理論のヒルベルト空間とを同一視することで、双対性が確立される。
• 式(A6)におけるモード方程式から、$AdS_{d+1}$ 内のスカラー場のエネルギー固有値が導かれ、$\omega = \frac{1}{2}(d + \sqrt{d^2 - 4m^2})$ となる。この値は、双対CFTオペレーターの自己共形次元$\Delta$と一致する。
• Type IIB中間重力理論における$AdS_5 \times S^5$ 上のKaluza-Kleinモードのスペクトルが、4次元における$χ=4$ 超ヤン・ミルズ理論のチャーラルプライマリオペレーターのスペクトルと一致する。
• 双対性は摂動にも拡張される：CFTにおける無次元、有次元、無関係なオペレーターは、それぞれ中間重力理論における質量ゼロ、質量あり、タキオン的（負の質量平方）モードに対応する。
• 追加の仮定の下で、双対性のハミルトニアン形式が導かれ、$χ=4$ SYMにおける大N相転移がAdSブラックホールの熱力学と関連していることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CFTにおける相関関数は、反de Sitter空間内での重力的ダイナミクスを用いてどのように計算できるか？
• RQ2 CFTにおけるオペレーター次元と、バルクの中間重力理論における粒子質量との間の正確なマッピングは何か？
• RQ3 Type IIB中間重力理論における$AdS_5 \times S^5$ 上のKaluza-Kleinモードは、$χ=4$ 超ヤン・ミルズ理論におけるチャーラルオペレーターとどのように対応するか？
• RQ4 $\mathcal{N}=4$ SYMにおける大N相転移は、AdSブラックホールの熱力学によって理解できるか？
• RQ5 $AdS_{d+1}$の無限遠境界が、バルク場と境界オペレーターの間のホログラフィック双対性を定義する役割を果たすのはどのようなものか？

主な発見

• 境界CFTにおける自己共形プライマリオペレーターの次元$\Delta$は、$AdS_{d+1}$ 内の対応するスカラー場モードのエネルギー$\omega$に等しく、$\omega = \frac{1}{2}(d + \sqrt{d^2 - 4m^2})$ となる。ここで$m$は場の質量である。
• Type IIB中間重力理論における$AdS_5 \times S^5$ 上のKaluza-Kleinスペクトルは、4次元における$χ=4$ 超ヤン・ミルズ理論のチャーラルプライマリオペレーターのスペクトルと正確に一致する。
• CFTにおける無関係、無次元、有次元の摂動は、それぞれバルクの中間重力理論における質量あり、質量ゼロ、タキオン的（負の質量平方）モードに対応する。
• $\mathcal{SO}(1,1)$ の拡大生成子がCFTにおいては、$AdS_{d+1}$ 内の時間並進生成子（エネルギー）に対応し、オペレーター次元と質量の対応関係が確立される。
• 双対性のハミルトニアン形式は、$χ=4$ SYMにおける大N相転移がAdSブラックホールの熱力学に関連していることを示唆するが、追加の仮定が必要である。
• CFTにおける境界からオペレーターへの対応関係—$S^{d-1}$ 上の状態が局所的オペレーターに対応する—により、バルク量子状態と境界オペレーター挿入との間の直接的なリンクが確立される。