[論文レビュー] Anti-invariant Riemannian Submersions from Kenmotsu Manifolds onto Riemannian manifolds

Ayşe Beri, İrem Küpeli Erken+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ケンモツ多様体からリーマン多様体への反不変リーマン被覆写像を検討し、特徴的ベクトル場 ξ が垂直である場合には、そのような被覆写像は存在しないことを示している。また、ワーペッド積多様体からの水平的共形被覆写像の構成法を提示し、ξ が水平（リーマン被覆写像の場合）または垂直（共形被覆写像の場合）である明示的例を提示することで、幾何的可積分性およびファイブレーションの性質を示している。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study anti-invariant Riemannian submersions from Kenmotsu manifolds onto Riemannian manifolds. Several fundamental results in this respect are proved. The integrability of the distributions and the geometry of foliations are investigated. We proved that there do not exist (anti-invariant) Riemannian submersions from Kenmotsu manifolds onto Riemannian manifolds such that characteristic vector field ξ is a vertical vector field. We gave a method to get horizontally conformal submersion examples from warped product manifolds onto Riemannian manifolds. Furthermore, we presented an example of anti-invariant Riemannian submersions in the case where the characteristic vector field ξ is a horizontal vector field and an anti-invariant horizontally conformal submersion such that ξ is a vertical vector field.

研究の動機と目的

• ケンモツ多様体からリーマン多様体への反不変リーマン被覆写像の存在および幾何的性質を調査すること。
• このような被覆写像によって誘導される分布の可積分性およびファイブレーションの幾何を分析すること。
• 特徴的ベクトル場 ξ がこれらの被覆写像において水平または垂直である条件を特定すること。
• 特にワーペッド積構造を用いて、反不変リーマン被覆写像および水平的共形被覆写像の例を構成すること。
• 準ヘルミート多様体に限らず、ケンモツ構造への反不変被覆写像の研究を拡張すること。

提案手法

• ケンモツ多様体の局所的ワーペッド積構造 M ≅ I ×_f N を用い、f(t) = se^t であることを特定する。
• ケンモツ多様体のリーマン接続および曲率性質を適用し、被覆写像にかかる幾何的制約を導出する。
• 反不変リーマン被覆写像の定義を用い、φ(ker F*) ⊂ (ker F*)⊥ を要求する。
• ワーペッド積計量 g = dt² + f²g_L を用いて、ファイバー因子からのリーマン被覆写像との合成により、水平的共形被覆写像を構成する。
• 標準的射影 π₂: M₁ ×_f M₂ → M₂ を用い、リーマン被覆写像 f₁: M₂ → M₃ と合成して f₂ = f₁∘π₂ を生成する。
• ランクの最大化および水平分布上の共形性条件を満たすことで、被覆写像の性質を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴的ベクトル場 ξ が垂直である場合、ケンモツ多様体からリーマン多様体への反不変リーマン被覆写像は存在可能か？
• RQ2 ケンモツ多様体からの反不変リーマン被覆写像において、ker F* および (ker F*)⊥ の分布の可積分性条件は何か？
• RQ3 ξ が水平である反不変リーマン被覆写像の例をどのように構成できるか？
• RQ4 ξ が垂直である場合に、反不変水平的共形被覆写像を構成可能か？また、それらが示す幾何的性質は何か？
• RQ5 ケンモツ多様体のワーペッド積構造は、このような被覆写像の生成に果たす役割は何か？

主な発見

• 特徴的ベクトル場 ξ が垂直である場合、反不変リーマン被覆写像はケンモツ多様体からリーマン多様体へのものとして存在しない。これは、非定数のワーピング関数 f(t) = se^t との矛盾に起因する。
• ワーペッド積構造 M ≅ I ×_f N において f(t) = se^t であるため、M はリーマン積としての構造を持たず、ξ が垂直である場合にはそれが要求される。
• f₁: M₂ → M₃ がリーマン被覆写像であるとき、ワーペッド積多様体 M₁ ×_f M₂ からリーマン多様体 M₃ への水平的共形被覆写像 f₂ = f₁∘π₂ を生成する方法が提示されている。
• ξ が水平である反不変リーマン被覆写像の明示的例が構成され、垂直ベクトルおよび水平ベクトルに対して φ(V₁) = -H₁ および φ(V₂) = -H₂ が成り立つ。
• ξ が垂直である反不変水平的共形被覆写像の例が提示されており、φ(V₁) = H₂、φ(V₂) = H₁、φ(V₃) = 0 であり、共形因子 f²(p) を満たす共形条件を満たしている。
• ファイブレーションの幾何および分布の可積分性が分析され、構成された例において水平分布 (ker F*)⊥ が可積分であることが示されている。