[论文解读] Anticyclotomic Iwasawa theory of elliptic modular forms at non-ordinary primes

Kâzım Büyükboduk, Antonio Lei|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 41被引用 12

一句话总结

本文在虚二次域上对非典型模形式提出了 Iwasawa 主猜想，引入了双重符号的 Coleman 映射与 Selmer 子群，以及双重符号的 Beilinson-Flach 元素和 p 进 L 函数，以关联反循环与 $Σ\mathbb{Z}_p^2$-塔情形下的这些对象。在技术假设下，证明了四个主要猜想中每一项的单向包含关系，将 Iwasawa 理论拓展至非典型情形。

ABSTRACT

This article is a continuation of our previous work on the Iwasawa theory of an elliptic modular form over an imaginary quadratic field $K$, where the modular form in question was assumed to be ordinary at a fixed odd prime $p$. We formulate the Iwasawa main conjecture for suitable twists of a newform $f$ that is non-ordinary at $p$, over the cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extension, the anticyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extensions (in both the \emph{definite} and the \emph{indefinite} cases) as well as the maximal $\mathbb{Z}_p^2$-tower of an imaginary quadratic field $K$ where $p$ splits. In order to do so, we define Kobayashi-Sprung-style doubly-signed Coleman maps, which we use to define doubly signed Selmer groups. In the same spirit, we construct doubly-signed (integral) Beilinson-Flach elements (out of the collection of unbounded Beilinson-Flach elements of Loeffler-Zerbes), which we use to define doubly-signed $p$-adic $L$-functions. The main conjecture then relates these two set of objects. Furthermore, we show that the integral Beilinson-Flach elements form a locally restricted Euler system that allows us to deduce (under certain technical assumptions) one inclusion in each one of the four main conjectures we formulate here.

研究动机与目标

• 将 Iwasawa 理论拓展至虚二次域上 p 为非典型的非典型模形式。
• 通过 Kobayashi-Sprung 方式的 Coleman 映射，为反循环与 $Σ\mathbb{Z}_p^2$-塔定义双重符号的 Selmer 子群。
• 从 Loeffler-Zerbes 的无界 Beilinson-Flach 元素构造双重符号的 p 进 L 函数。
• 制定并证明四个版本的 Iwasawa 主猜想（涵盖确定与不确定的反循环情形，以及最大 $Σ\mathbb{Z}_p^2$-塔），其中每一项均证明一个包含关系。
• 证明积分 Beilinson-Flach 元素构成一个局部受限的 Euler 系统，从而支持主猜想的包含关系。

提出的方法

• 受 Kobayashi 与 Sprung 启发，引入双重符号的 Coleman 映射，以处理在 p 处的非典型行为。
• 利用这些 Coleman 映射定义双重符号的 Selmer 子群，以捕捉 p 进 L 函数与 Galois 上同调的数据。
• 从 Loeffler-Zerbes 的无界集合中构造双重符号的 Beilinson-Flach 元素，并将其适配至符号化框架。
• 通过与符号化 Selmer 子群相关的插值性质，定义双重符号的 p 进 L 函数。
• 利用积分 Beilinson-Flach 元素的局部受限 Euler 系统性质，推导出四个主要猜想中每一项的单向包含关系。
• 应用技术假设以确保在循环与反循环扩张中，符号化构造的相容性与有限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Iwasawa 主猜想拓展至虚二次域上 p 为非典型的非典型模形式？
• RQ2 在反循环与 $Σ\mathbb{Z}_p^2$-塔情形下，Coleman 映射与 Selmer 子群在非典型情形下的适当推广是什么？
• RQ3 能否构造出双重符号的 Beilinson-Flach 元素，使其生成的 p 进 L 函数与符号化 Selmer 子群相匹配？
• RQ4 积分 Beilinson-Flach 元素的局部受限 Euler 系统性质如何支持主猜想的包含关系？
• RQ5 这些构造对非典型 Iwasawa 理论中 p 进 L 函数与 Selmer 子群的结构有何影响？

主要发现

• 本文在虚二次域的反循环与 $Σ\mathbb{Z}_p^2$-塔上，为非典型模形式制定了四个版本的 Iwasawa 主猜想。
• 构造了双重符号的 Coleman 映射，以在非典型情形下定义符号化 Selmer 子群，推广了典型情形的框架。
• 从 Loeffler-Zerbes 的无界元素中定义了双重符号的 Beilinson-Flach 元素，使符号化 p 进 L 函数的构造成为可能。
• 积分 Beilinson-Flach 元素构成一个局部受限的 Euler 系统，从而允许推导出四个主要猜想中每一项的单向包含关系。
• 在技术假设下，通过在四种情形（确定与不确定的反循环情形，以及 $Σ\mathbb{Z}_p^2$-塔）中分别证明一个包含关系，部分证明了主猜想。
• 该框架为反循环方向的非典型 Iwasawa 理论提供了系统化的方法，统一了循环与 $Σ\mathbb{Z}_p^2$-塔的情形。