[論文レビュー] Approximate Birkhoff-James orthogonality and smoothness in the space of bounded linear operators

‎Arpita Mal, Kallol Paul+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2018

Advanced Banach Space Theory参考文献 19被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、コンパクト作用素の空間が有界作用素空間におけるM-理想をなす場合を特に含め、バナッハ空間間の有界線形作用素の近似的なバーキョフ＝ジェイムズ直交性および滑らかさを特徴づける。作用素が滑らかであるための条件を確立し、滑らかさが成り立つのは、ノルム達成集合が対称的であり、ノルム達成ベクトルの像が終域空間で滑らかであり、かつコンパクト作用素の閉包に属さない場合に限ることを示している。

ABSTRACT

We study approximate Birkhoff-James orthogonality of bounded linear operators defined between normed linear spaces $\mathbb{X}$ and $\mathbb{Y}.$ As an application of the results obtained, we characterize smoothness of a bounded linear operator $T$ under the condition that $\mathbb{K}(\mathbb{X},\mathbb{Y}),$ the space of compact linear operators is an $M-$ideal in $\mathbb{L}(\mathbb{X},\mathbb{Y}),$ the space of bounded linear operators.

研究の動機と目的

• 任意のバナッハ空間間のコンパクト線形作用素空間における近似的なバーキョフ＝ジェイムズ直交性（⊥ǫ_D）を特徴づけること。
• K(X,Y) が L(X,Y) においてM-理想をなす場合に、既知のバーキョフ＝ジェイムズ直交性および滑らかさに関する結果を拡張すること。
• K(X,Y) が L(X,Y) においてM-理想をなすという仮定の下で、有界線形作用素 T ∈ L(X,Y) の滑らかさに関する必要十分条件を提供すること。
• K(X,Y) がM-理想をなす条件の下で、ℓp 空間上の作用素の滑らかさに関する先行結果を任意のバナッハ空間へ一般化すること。
• T の滑らかさとそのノルム達成集合 MT の構造および T と K(X,Y) 間の距離との関係を調査すること。

提案手法

• 双対空間における極値汎関数によるバーキョフ＝ジェイムズ直交性の特徴づけを、パrameter ǫ ∈ [0,1) を用いて近似的直交性へ拡張する。
• コンパクト作用素空間の双対空間における極値汎関数と、X** および Y* の極値汎関数の基本的テンソルとの双対性を応用する。
• バナッハ空間におけるM-理想およびL-理想の構造を用いて、L(X,Y) および K(X,Y) の幾何的性質を分析する。
• K(X,Y) が L(X,Y) においてM-理想であるならば、L(X,Y)* 内の K(X,Y) の annihilator は双対空間においてL-和項であることを用いる。
• ノルム達成汎関数の一意性およびノルム達成集合 MT の構造を用いた滑らかさの特徴づけを適用する。
• ノルムを達成するベクトルにおける支持汎関数の存在と、ノルム達成列の使用に依拠し、直交性および滑らかさの条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K(X,Y) が L(X,Y) においてM-理想をなす場合に、T ∈ L(X,Y) がもう一つの作用素 A に対して近似的にバーキョフ＝ジェイムズ直交するための条件は何か？
• RQ2 ノルム達成集合 MT の構造および T と K(X,Y) 間の距離が、T の滑らかさにどのように影響を与えるか？
• RQ3 K(X,Y) がM-理想をなす場合に、T ∈ L(X,Y) の滑らかさの必要条件を非反射的空間へ拡張できるか？
• RQ4 M-理想の仮定の下で、T の滑らかさと T x0 が終域空間 Y で滑らかであるという性質との関係は何か？
• RQ5 MT = {±x0} かつ T x0 が Y で滑らかであるとき、dist(T, K(X,Y)) < ||T|| が T の滑らかさの必要十分条件であるか？

主な発見

• 任意のバナッハ空間間のコンパクト作用素に対して、コンパクト作用素空間の双対空間における極値汎関数を用いて、近似的なバーキョフ＝ジェイムズ直交性（⊥ǫ_D）の特徴づけが確立された。
• ||T|| = 1 かつ dist(T, K(X,Y)) < 1 を満たす T ∈ L(X,Y) に対して、T ⊥ǫ_B A であるための必要十分条件は、MT ∩ Ext(BX) 内の x1, x2 が存在し、任意の λ ≥ 0 に対して ||Tx1 + λAx1||² ≥ ||T||² - 2ǫ||T||||λA|| が成り立ち、任意の λ ≤ 0 に対して ||Tx2 + λAx2||² ≥ ||T||² - 2ǫ||T||||λA|| が成り立つことである。
• K(X,Y) が L(X,Y) においてM-理想である場合に、T ∈ L(X,Y) の滑らかさが特徴づけられる：T が滑らかであることは、MT = {±x0}、T x0 が Y で滑らかな点であり、かつ dist(T, K(X,Y)) < ||T|| であることと同値である。
• X が反射的で K(X,Y) が L(X,Y) においてM-理想をなす場合に、T の滑らかさの必要条件（MT = {±x0}、T x0 が Y で滑らか、dist(T, K(X,Y)) < ||T||）が十分条件であることが示された。
• 本稿では、Grz¸a´slewicz と Younis が L(ℓp, E) で得た滑らかさに関する結果を、バーキョフ＝ジェイムズ直交性の構造とM-理想の性質を用いて、別証明を与えた。
• 本稿では、滑らかな作用素が必ずしもノルムを達成するとは限らず、M-理想条件のもとで、滑らかさがノルム達成を意味するという考えに反する反例を提示した。