[論文レビュー] Approximate Homotopy of Homomorphisms from $C(X)$ into a Simple $C^*$-algebra

Huaxin Lin|ArXiv.org|Dec 5, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 44被引用数 49

ひとこと要約

本稿は、tracial rank 0 または純粋に無限大な単純 $C^*$-代数への $C(X)$ からのユニタリなホモモーフィズムの間の近似的なホモトピーについて、$K$-理論的条件が必要十分であることを確立する。ホモトピー路の長さに一様な上限が与えられ、結果は近似的に乗法的で、コンパクトな完全線形正値マップへと拡張され、基本的およびスーパー・ホモトピー補題への応用がなされる。

ABSTRACT

Let $X$ be a finite CW complex and let $h_1, h_2: C(X) o A$ be two unital \hm s, where $A$ is a unital C*-algebra. We study the problem when $h_1$ and $h_2$ are approximately homotopic. We present a $K$-theoretical necessary and sufficient condition for them to be approximately homotopic under the assumption that $A$ is a unital separable simple C*-algebra of tracial rank zero, or $A$ is a unital purely infinite simple C*-algebra. When they are approximately homotopic, we also give a bound for the length of the homotopy. Suppose that $h: C(X) o A$ is a monomorphism and $u\in A$ is a unitary (with $[u]=\{0\}$ in $K_1(A)$). We prove that, for any $\ep>0,$ and any compact subset ${\cal F}\subset C(X),$ there exists $\dt>0$ and a finite subset ${\cal G}\subset C(X)$ satisfying the following: if $\|[h(f), u]\|

研究の動機と目的

• 単純 $C^*$-代数への $C(X)$ からの2つのユニタリ $C^*$-ホモモーフィズムが近似的にホモトピックである条件を特定すること。
• 近似的なホモトピー路の長さに一様な上限を確立すること。
• 結果を近似的に乗法的で、コンパクトな完全線形正値線形写像へと拡張すること。
• ホモトピー構成における定数 $\delta$ と $\mathcal{G}$ の普遍性を調査すること。
• 基本的およびスーパー・ホモトピー補題を $AH$-代数および高次元の $X$ へ一般化すること。

提案手法

• $C^*$-代数が tracial rank 0 または純粋に無限大型である単純な場合に、$C(X)$-ホモモーフィズムの近似的なホモトピーについて、$K$-理論的条件を必要十分として用いる。
• $A$ 内のユニタリの連続的で折れ線的な経路 $\{u_t\}$ を構成し、$u$ から $1_A$ へつなぐ。すべての $g \in \mathcal{F}$ および $t \in [0,1]$ に対して、交換子推定 $\|[h(g), u_t]\| < \epsilon$ を満たす。
• $C(X)$ に有限部分集合 $\mathcal{G} \subset C(X)$ と閾値 $\delta > 0$ を導入し、$\|[h(f), u]\| < \delta$ かつボット不変量 $\text{Bott}(h,u) = \{0\}$ であれば、その経路が存在することを保証する。
• $\dim X \leq 1$ または $A$ が純粋に無限大単純の場合、$\delta$ と $\mathcal{G}$ が $A$ と $h$ に依存しない普遍的であることを証明する。
• tracial rank 0 の $C^*$-代数の構造とユニタリ経路の分類を用いて、ホモトピー長を $2\pi + \epsilon$ で上から抑える。
• $C(X)$ が $AH$-代数に置き換えられた場合に結果を拡張し、基本的およびスーパー・ホモトピー補題を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのユニタリ $C^*$-ホモモーフィズム $C(X) \to A$ が単純 $C^*$-代数において近似的にホモトピックであるのはいつか？
• RQ2 このようなホモモーフィズム間の近似的なホモトピー路の長さの最適な上限は何か？
• RQ3 次元 $\dim X \leq 1$ の場合、ホモトピー構成における定数 $\delta$ と $\mathcal{G}$ を、$A$ や $h$ に依存しない普遍的なものとして選べるか？
• RQ4 $\delta$ を $A$ や $h$ に依存せず、測度分布にのみ依存するように選べる条件は何か？
• RQ5 基本的およびスーパー・ホモトピー補題を $AH$-代数および高次元の $X$ へどのように一般化できるか？

主な発見

• 単位的分離可能単純 $C^*$-代数が tracial rank 0 または純粋に無限大型であるとき、2つのユニタリホモモーフィズム $h_1, h_2: C(X) \to A$ が近似的にホモトピックであるための $K$-理論的条件が、必要十分である。
• 近似的なホモトピー路の長さは $2\pi + \epsilon$ で上界を持つ。これによりホモトピーの定量的制御が可能になる。
• $\dim X \leq 1$ または $A$ が純粋に無限大単純の場合、定数 $\delta$ と $\mathcal{G}$ は $A$ と $h$ に依存せず普遍的であり、基本的ホモトピー補題を強化する。
• $\dim X \geq 2$ の場合、$\delta$ と $\mathcal{G}$ は普遍的ではないが、$\delta$ は $A$ や $h$ に依存せず、測度分布にのみ依存するように選べる。これは顕著な改善である。
• 結果は、近似的に乗法的で、コンパクトな完全線形正値線形写像へと拡張され、より広いクラスの写像へ一般化される。
• 基本的ホモトピー補題は改善され、$AH$-代数へ一般化され、これらの設定に対して新しいバージョンのスーパー・ホモトピー補題が確立された。