[論文レビュー] Approximately Stable Matchings with General Constraints

Yasushi Kawase, Atsushi Iwasaki|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2019

Game Theory and Voting Systems参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、基数、加法的、または劣微分的効用関数を伴う、一般の制約（マトロイドの交差や多次元ナップサック問題を含む）を有する二面的、一対多のマッチング市場における近似的に安定したマッチングのフレームワークを導入する。安定性の確認がパッケージング問題を解くことに等価であることを確立し、α-competitiveなオンラインパッケージングアルゴリズムが利用可能な場合に、一般化された延期承諾アルゴリズムがα-安定マッチングを達成できることを示し、NP完全およびΣ₂^P完全問題への還元を用いて、近似境界がタイトであることを証明する。

ABSTRACT

This paper focuses on two-sided matching where one side (a hospital or firm) is matched to the other side (a doctor or worker) so as to maximize a cardinal objective under general feasibility constraints. In a standard model, even though multiple doctors can be matched to a single hospital, a hospital has a responsive preference and a maximum quota. However, in practical applications, a hospital has some complicated cardinal preference and constraints. With such preferences (e.g., submodular) and constraints (e.g., knapsack or matroid intersection), stable matchings may fail to exist. This paper first determines the complexity of checking and computing stable matchings based on preference class and constraint class. Second, we establish a framework to analyze this problem on packing problems and the framework enables us to access the wealth of online packing algorithms so that we construct approximately stable algorithms as a variant of generalized deferred acceptance algorithm. We further provide some inapproximability results.

研究の動機と目的

• 一般の効用関数を伴う制約付き二面的マッチング市場における安定マッチングの非存在性に対処すること。
• 病院が乗法的効用の向上のみを理由にマッチングを変更するような、近似的な安定性の形式化。
• さまざまな効用および制約タイプ下での安定性の確認と安定マッチングの存在の計算複雑性の特徴付け。
• α-competitiveなオンラインパッケージングアルゴリズムを用いてα-安定マッチングを生成する一般化された延期承諾アルゴリズムの開発。
• k-マトロイド交差およびρ次元ナップサック制約下でのα-安定マッチングの近似比に対するタイトな下界の確立。

提案手法

• 独立系制約の構造を活用して、安定性の確認問題を同等のオフラインパッケージング問題に還元する。
• NP完全問題であるDisjointMatchingおよびΣ₂^P完全問題である∃∀3DM/∃∀SubsetSumへの還元を用いて、困難性の結果を証明する。
• 病院がオンラインパッケージングアルゴリズムを用いてマッチングを更新する一般化された延期承諾（GDA）フレームワークを導入する。
• オンラインパッケージングアルゴリズムからのα近似保証を活用して、得られるマッチングにおけるα-安定性を保証する。
• 定理8を用いて、可能な集合と効用の向上を分析することで、一般の近似比の下界を導出する。
• k-マトロイド交差およびρ次元ナップサック制約（加法的効用）に対して、明示的構成を用いてタイトな下界を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の制約および基数的効用関数を伴う二面的マッチング市場において、安定マッチングが存在する条件は何か？
• RQ2 異なる効用および制約タイプ下で、与えられたマッチングが安定かどうかを確認する計算複雑性は何か？
• RQ3 正確な安定性が達成できない場合に、近似的に安定なマッチングを保証するアルゴリズムを設計できるか？
• RQ4 k-マトロイド交差およびρ次元ナップサック制約下でのα-安定マッチングの達成可能なタイトな近似比は何か？
• RQ5 P、NP完全、Σ₂^P完全という複雑性クラスは、効用関数および制約タイプによってどのように変化するか？

主な発見

• 効用が基数的または加法的で、制約が容量またはマトロイドである場合には安定性の確認が多項式時間で可能であるが、それ以外の場合はcoNP完全である。
• 安定マッチングの存在の確認は、基数的および加法的効用関数に加え容量またはマトロイド制約がある場合に限り多項式時間で可能であり、それ以外の場合はNP完全またはΣ₂^P完全である。
• 加法的効用関数を伴うk-マトロイド交差制約下では、任意のα < kに対してα-安定アルゴリズムは存在せず、下界kがタイトであることが示された。
• 加法的効用関数および容量の(1−ε)未満の重みを伴うρ次元ナップサック制約下では、任意のα < ρ/(2ε)に対してα-安定アルゴリズムは存在せず、下界ρ/(2ε)がタイトであることが示された。
• α-competitiveなオンラインパッケージングアルゴリズムが利用可能な場合には、一般化された延期承諾フレームワークによりα-安定マッチングを構築可能である。
• 本稿では、加法的効用関数に加えk-マトロイド交差またはナップサック制約（k ≥ 3、ρ ≥ 2）がある場合、安定マッチングの存在の確認問題がΣ₂^P完全であることを証明した。