[論文レビュー] Online Submodular Maximization Problem with Vector Packing Constraint

T-H. Hubert Chan, Shaofeng H.-C. Jiang+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2017

Optimization and Search Problems参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、各次元におけるアイテムの重みが $1-\epsilon$ 未満に制限される $\epsilon$-スラック仮定の下で、オンライン部分加法的最大化問題にベクトルパッキング制約を課した決定的 $ O(k/\epsilon^2) $-競合比アルゴリズムを提示する。任意のアイテム到着順序と自由処分が許可される中で、近似的に最適な性能を達成する。また、決定的アルゴリズムに対しては $\Omega(k)$ の競合比が避けられないこと、ランダム化アルゴリズムに対しては $\Omega(k/\log k)$ が避けられないというタイトな下界を示している。

ABSTRACT

We consider the online vector packing problem in which we have a $d$ dimensional knapsack and items $u$ with weight vectors $\mathbf{w}_u \in \mathbb{R}_+^d$ arrive online in an arbitrary order. Upon the arrival of an item, the algorithm must decide immediately whether to discard or accept the item into the knapsack. When item $u$ is accepted, $\mathbf{w}_u(i)$ units of capacity on dimension $i$ will be taken up, for each $i\in[d]$. To satisfy the knapsack constraint, an accepted item can be later disposed of with no cost, but discarded or disposed of items cannot be recovered. The objective is to maximize the utility of the accepted items $S$ at the end of the algorithm, which is given by $f(S)$ for some non-negative monotone submodular function $f$. For any small constant $ε> 0$, we consider the special case that the weight of an item on every dimension is at most a $(1-ε)$ fraction of the total capacity, and give a polynomial-time deterministic $O(\frac{k}{ε^2})$-competitive algorithm for the problem, where $k$ is the (column) sparsity of the weight vectors. We also show several (almost) tight hardness results even when the algorithm is computationally unbounded. We show that under the $ε$-slack assumption, no deterministic algorithm can obtain any $o(k)$ competitive ratio, and no randomized algorithm can obtain any $o(\frac{k}{\log k})$ competitive ratio. For the general case (when $ε= 0$), no randomized algorithm can obtain any $o(k)$ competitive ratio. In contrast to the $(1+δ)$ competitive ratio achieved in Kesselheim et al. (STOC 2014) for the problem with random arrival order of items and under large capacity assumption, we show that in the arbitrary arrival order case, even when $\| \mathbf{w}_u \|_\infty$ is arbitrarily small for all items $u$, it is impossible to achieve any $o(\frac{\log k}{\log\log k})$ competitive ratio.

研究の動機と目的

• 任意のアイテム到着順序下でのベクトルパッキング制約を伴うオンライン部分加法的最大化問題に取り組む。
• スラック仮定の下で、$O(k/\epsilon^2)$ の競合比を達成する多項式時間の決定的アルゴリズムを設計する。
• オンラインベクトルパッキング設定において、決定的およびランダム化アルゴリズムのタイトな下界を確立する。
• 小さなアイテム重みが競合比に与える影響を分析する。特にスラックが存在しない場合の影響を特に注目する。
• 任意の到着順序下で、アイテム重みが任意に小さくても、$o(\log k / \log \log k)$ の競合比は達成できないことを示す。

提案手法

• アイテムの限界利得と容量制約に基づくしきい値戦略を用いる、新規なオンラインアルゴリズムを導入。自由処分が許可される。
• 各 $d$ 次元で妥当性を保ちつつ、単調な部分加法的効用の最大化を実現するため、双対適合技法を適用する。
• スパarsityに配慮した設計を採用し、アルゴリズムの性能がアイテムごとの非ゼロ成分数 $k$ に依存するようにする。
• 敵対的構造を持つアイテム列の確率分布を構築することで、ヤオの原理を用いて下界を導出する。
• 各フェーズで次第に縮小する次元集合に重複するサポートを持つアイテムを導入する、マルチフェーズのアイテム生成プロセスを設計する。
• 調和級数の上限を用いて期待性能を分析し、最適なオフライン選択下で期待して $O(1/\epsilon)$ 個のアイテムしか保持できないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的オンラインアルゴリズムは、$\epsilon$-スラック仮定の下で、ベクトルパッキング制約付き部分加法的最大化問題に対して $O(k/\epsilon^2)$ の競合比を達成できるか？
• RQ2 $\epsilon$-スラック仮定の下で、決定的アルゴリズムが達成可能な最良の競合比は何か？
• RQ3 この設定において、$O(k/\epsilon^2)$ の競合比は定数倍の意味でタイトか？
• RQ4 このオンラインベクトルパッキング問題におけるランダム化アルゴリズムの根本的限界は何か？
• RQ5 部分定数のアイテム重み（すなわち、$\|\mathbf{w}_u\|_\infty \to 0$）は、任意の到着順序下でより良い競合比を可能にするか？

主な発見

• 本稿では、$\epsilon$-スラックの下で、ベクトルパッキング制約付きオンライン部分加法的最大化問題に対する決定的 $O(k/\epsilon^2)$-競合比アルゴリズムを提示する。
• $\epsilon$-スラック仮定の下では、任意の決定的アルゴリズムが $\Omega(k)$ より良い競合比を達成することはできず、提案アルゴリズムは定数倍の意味で最適である。
• ランダム化アルゴリズムに対しても、$\epsilon$-スラック仮定の下では、$\Omega(k/\log k)$ より良い競合比を達成することはできない。
• 一般の場合、$\epsilon = 0$ のときでさえ、計算量が無制限であっても、ランダム化アルゴリズムは $\Omega(k)$ より良い競合比を達成できない。
• すべてのアイテム重みが任意に小さくても、任意の到着順序下では、$o(\log k / \log \log k)$ の競合比は達成できない。
• ヤオの原理を用いて、任意のランダム化アルゴリズムが最大で $O(\frac{\log \log d}{\log d}) \cdot \mathsf{OPT}$ の期待効用しか得られないようなハードな確率分布を構築した。これにより、下界のタイトさが証明された。