[論文レビュー] Approximation of SPDE covariance operators by finite elements: A semigroup approach

Mihály Kovács, Annika Lang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2021

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限要素法による空間離散化と有理関数による時間近似を用いて、線形確率偏微分方程式（SPDE）の弱解の共分散作用素を半群に基づくアプローチで近似する手法を開発する。トレースクラスノルムおよびヒルバート＝シュミットノルムにおける収束速度を確立し、非自己共役作用素を含む有界領域上での確率的移流拡散方程式および波動方程式に対しても最適収束を示す。

ABSTRACT

The problem of approximating the covariance operator of the mild solution to a linear stochastic partial differential equation is considered. An integral equation involving the semigroup of the mild solution is derived and a general error decomposition is proven. This formula is applied to approximations of the covariance operator of a stochastic advection-diffusion equation and a stochastic wave equation, both on bounded domains. The approximations are based on finite element discretizations in space and rational approximations of the exponential function in time. Convergence rates are derived in the trace class and Hilbert--Schmidt norms with numerical simulations illustrating the results.

研究の動機と目的

• 線形SPDEの弱解の共分散作用素を近似する一般枠組みを構築すること。
• 既存の数値的手法を自己共役作用素に限らず、移流拡散モデルに見られる非対称作用素の取り扱いを可能にするように拡張すること。
• 有限要素法および有理関数時間離散化におけるトレースクラスノルムおよびヒルバート＝シュミットノルムにおける収束速度を導出すること。
• 確率的移流拡散方程式および波動方程式における理論的結果の数値的検証を実施すること。
• 半群表現を用いて、放物型および双曲型SPDEの両方に適用可能な統一的アプローチを提供すること。

提案手法

• SPDEの線形作用素が生成する半群を用いて、弱解の共分散に関する作用素値積分方程式を導出する。
• トレースクラスノルムおよびヒルバート＝シュミットノルムにおける共分散近似の一般誤差分解公式を確立する。
• 空間離散化に有限要素法、時間離散化に指数関数の有理近似を適用する。
• 弱イトの公式を用いて解過程と半群を関連付け、共分散の積分方程式を導出する。
• 誤差を半群近似誤差、空間有限要素誤差、時間離散化誤差の3つの部分に分解し、それぞれを解析する。
• 生成子および共分散作用素の分数次の作用素ノルム推定を用いて、収束速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半群に基づくアプローチは、自己共役作用素に限らず、SPDE共分散作用素の近似に統一的枠組みを提供できるか？
• RQ2 有限要素法および有理関数時間近似におけるSPDE共分散作用素のトレースクラスノルムおよびヒルバート＝シュミットノルムにおける収束速度はどの程度達成可能か？
• RQ3 非自己共役SPDE、たとえば確率的移流拡散方程式や波動方程式に対して、この手法は数値的にどの程度の性能を示すか？
• RQ4 ノイズ共分散カーネルの正則性は、近似の収束速度にどのような影響を及えるか？
• RQ5 理論的収束速度は、マーターンおよびブラウン運動ブリッジ共分散構造の両方において、数値実験でも観察可能か？

主な発見

• 一次元の分岐線形有限要素法とクランク＝ニコルソン時間離散化を用いた場合、誤差とh = Δtの対数プロットにより、トレースクラスノルムにおける収束速度が約1に達することが確認された。
• ν = 0.01のマーターン共分散カーネルに対しても、粗いカーネルであるにもかかわらず、理論的予測と一致する収束速度1が得られた。
• ブラウン運動ブリッジ共分散カーネルでは、h = √Δtを細分化することで、ヒルバート＝シュミットノルムにおける収束速度が2に達し、理論的期待と一致した。
• 誤差分解により、半群近似誤差、空間有限要素誤差、時間離散化誤差の寄与が分離され、それぞれが生成子の分数次作用素ノルム推定を用いて評価された。
• 数値シミュレーションにより、理論的収束速度が実際の計算でも観察された。参照解はh = Δt = 2⁻⁹およびh = √Δt = 2⁻⁶で計算された。
• 本手法は、非零の移流速度を有する確率的移流拡散方程式に見られる非自己共役作用素に対しても適切に処理でき、従来の自己共役仮定を超えて拡張された。