[논문 리뷰] Arithmetic degrees and dynamical degrees of endomorphisms on surfaces

Yohsuke Matsuzawa, Kaoru Sano외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 16.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 매끄러운 사영 표면 위의 전사 동형사상에 대해 Kawaguchi–Silverman 추측을 증명하며, 자리를 밀도가 있는 전방 궤도를 가진 유리점에 대해 산술 차수와 역학 차수가 같음을 확립한다. 또한, 전사 동형사상에 대해 어떤 매끄러운 사영 다양체에서도 이러한 점이 항상 존재하며, 자명한 동형사상의 경우, 상호로 disjoint한 궤도를 가진 자리 밀도가 있는 점들의 집합을 구성할 수 있음을 보인다.

ABSTRACT

For a dominant rational self-map on a smooth projective variety defined over a number field, Kawaguchi and Silverman conjectured that the (first) dynamical degree is equal to the arithmetic degree at a rational point whose forward orbit is well-defined and Zariski dense. We prove this conjecture for surjective endomorphisms on smooth projective surfaces. For surjective endomorphisms on any smooth projective varieties, we show the existence of rational points whose arithmetic degrees are equal to the dynamical degree. Moreover, we prove that there exists a Zariski dense set of rational points having disjoint orbits if the endomorphism is an automorphism.

연구 동기 및 목표

• 매끄러운 사영 표면 위의 전사 동형사상에 대해 Kawaguchi–Silverman 추측을 증명하기.
• 모든 매끄러운 사영 다양체 위의 전사 동형사상에 대해 산술 차수가 역학 차수와 같은 유리점을 존재함을 증명하기.
• 매끄러운 사영 다양체 위의 자명한 동형사상에 대해 상호로 disjoint한 궤도를 가진 자리 밀도가 있는 유리점들의 집합을 구성하기.
• 산술 동역학에서 높이 함수와 편(very ample) 선다발을 사용하여 산술 차수와 역학 차수의 성질을 확장하기.

제안 방법

• f∗D ≡ δfD 를 만족하는 편 R-선다발 D의 존재를 이용해 캐논리컬 높이 함수 ĥ(P) = lim (hD(fn(P))/δfn) 를 정의한다.
• 캐논리컬 높이 함수를 적용하여 ĥ(P) > 0 이면 αf(P) = δf 임을 보여 산술 차수와 역학 차수를 연결한다.
• 에탈 유한 사상에 대한 동역학적 Mordell–Lang 추측을 적용하여 궤도의 교차를 통제하고 disjoint성을 확보한다.
• 큰 선다발과 완전 교차 곡선 이론을 사용하여 전반적인 산술 복잡도를 가진 점들을 구성한다.
• 산술 차수의 비틀림 불변성을 이용해 문제를 더 단순한 모델로 축소하며, 특히 표면의 경우에 유용하다.
• Perron–Frobenius 유형의 결과를 적용하여 f∗D ≡ δfD 를 만족하는 비자명한 편 선다발이 존재함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매끄러운 사영 표면 위의 전사 동형사상 하에서 자리 밀도가 있는 전방 궤도를 가진 유리점에 대해 산술 차수가 역학 차수와 같은가?
• RQ2 모든 매끄러운 사영 다양체 위의 전사 동형사상에 대해 산술 차수가 역학 차수와 같은 유리점을 찾을 수 있는가?
• RQ3 매끄러운 사영 다양체 위의 자명한 동형사상 하에서 상호로 disjoint한 궤도를 가진 자리 밀도가 있는 유리점들의 집합이 존재하는가?
• RQ4 캐논리컬 높이 함수 ĥ(P) 가 양수일 조건은 무엇이며, 이는 αf(P) = δf 를 이끌어내는가?
• RQ5 표면 및 고차원 다양체 위의 편 및 큰 선다발의 성질은 전반적인 산술 복잡도를 가진 점들의 존재에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 매끄러운 사영 표면 위의 전사 동형사상에 대해 Kawaguchi–Silverman 추측이 성립한다.
• 모든 매끄러운 사전 다양체 위의 전사 동형사상에 대해 αf(P) = δf 를 만족하는 유리점 P 가 존재한다.
• 매끄러운 사영 다양체 위의 자명한 동형사상에 대해, 모든 P ∈ S 에 대해 αf(P) = δf 이고 궤도가 상호로 disjoint한 자리 밀도가 있는 유리점들의 집합 S 가 존재한다.
• 캐논리컬 높이 함수 ĥ(P) 가 존재하며, ĥ(P) = hD + O(√hH) 를 만족하고, ĥ(P) > 0 이면 αf(P) = δf 이다.
• δf > 1 인 모든 매끄러운 사영 다양체에서, 완전 교차 곡선 C 위에 αf(P) = δf 를 만족하는 무한히 많은 점이 존재한다.
• f∗D ≡ δfD 를 만족하는 영이 아닌 편 R-선다발 D 가 존재하면 캐논리컬 높이 함수가 잘 정의되며, 전반적인 산술 차수를 가진 점들을 구성하는 데 기여한다.