[논문 리뷰] Arithmetic diagonal cycles on unitary Shimura varieties

Michael Rapoport, Brian D. Smithling외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 18.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 43인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 PEL 유형의 정수 모델(전역 및 준전역)을 구축하고, Gillet–Soulé의 산술 카르탕 군을 통한 산술 교차 쌍선을 도입하여 유니터리 쇤마 다양체에 대한 전역 산술 간-그로스-프라사드 추측을 제안한다. 논문은 낮은 차원(n ≤ 3)에서 이 추측을 증명하며, 히케--equivariant 코homology 사이클을 통해 특수 L-값과 산술 교차 수를 연결한다.

ABSTRACT

We define variants of PEL type of the Shimura varieties that appear in the context of the Arithmetic Gan-Gross-Prasad conjecture. We formulate for them a version of the AGGP conjecture. We also construct (global and semi-global) integral models of these Shimura varieties and formulate for them conjectures on arithmetic intersection numbers. We prove some of these conjectures in low dimension.

연구 동기 및 목표

• PEL 유형의 모듈러스 문제를 사용하여 유니터리 쇤마 다양체에 대한 산술 간-그로스-프라사드(AGGP) 추측의 개선된 버전을 제안하기.
• 이 쇤마 다양체에 대한 전역 및 준전역 정수 모델을 구축하여 수체 위에서의 산술 교차 이론을 가능하게 하기.
• 비엘린슨–블로흐 높이 쌍선을 대체하여 정수 모델 위에서 산술 카르탕 군을 통한 Gillet–Soulé 산술 카르탕 쌍선을 도입하여 산술 교차 수를 정의하기.
• 낮은 차원의 경우(예: n ≤ 3)에 전역 AGGP 추측을 무조건적으로 증명하여, 고계수 유니터리 설정에서 AGGP 추측의 첫 번째 무조건적 검증을 제공하기.

제안 방법

• 군 $\widehat{G} = Z_Q \times G$ 를 사용하여 쇤마 다양체의 변종을 정의하며, 여기서 $Z_Q$ 는 토러스 $\{ z \in \mathrm{Res}_{F/Q}(G_m) \mid \mathrm{Nm}_{F/F_0}(z) \in G_m \}$ 이다. 이를 통해 PEL 유형의 모듈러스 해석이 보장되도록 한다.
• 산술 구조(표준화, 자기사상, 계량 구조)를 가진 아벨 다양체의 모듈러스를 사용하여, 반사체 $E$ 위에 전역 및 준전역 정수 모델 $M^{\widehat{G}}_{\widehat{K}}$ 를 구축한다.
• 표준 부호 추측(Morel–Suh에 의해 증명됨)을 사용하여 히케–쾨니그 프로젝터를 구성하고, 코homology를 홀수 차수 부분으로 프로젝션한다.
• 정수 모델 $X = \mathcal{M}^{\widehat{G}}_{\widehat{K}}$ 위에서 Gillet–Soulé 산술 카르탕 군 $\widehat{CH}^d(X)$ 를 사용하여 산술 교차 쌍선을 정의하며, 비엘린슨–블로흐 쌍선을 대체한다.
• 상대적 추적 공식과 국소 추측(예: 산술 기본 논리)을 통해 산술 교차 수와 L-함수의 도함수 특수값 간의 관계를 규명한다.
• 낮은 차원에서 전역 추측을 증명하기 위해, 라파포르트–진 공간 위에서 국소 계산으로 환원하고, 아이젠슈타인 조건과 코트비츠 조건을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PEL 유형의 쇤마 다양체와 정수 모델을 사용하여 AGGP 추측을 어떻게 재구성할 수 있는가?
• RQ2 정수 모델 위에서의 산술 교차 수와 L-함수의 특수값 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 비엘린슨–블로흐 높이 쌍선을 정수 모델 위에서 잘 정의된 산술 카르탕 쌍선으로 대체할 수 있는가? 이를 통해 전역 추측을 어떻게 제안할 수 있는가?
• RQ4 표준 부호 추측은 홀수 차수 코homology에 대한 히케–쾨니그 프로젝터를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 낮은 차원의 어떤 경우에서 정수 모델과 국소 산술 기하학을 사용하여 전역 AGGP 추측을 무조건적으로 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 저자들은 유니터리 쇤마 다양체에 대한 전역 및 준전역 정수 모델을 구축하여, 산술 교차 이론을 위한 기하적 프레임워크를 제공한다.
• 산술 카르탕 군 $\widehat{CH}^d(X) \otimes \mathbb{Q}$ 위에서의 산술 교차 쌍선이 잘 정의되어 있으며, 상대적 추적 공식과 호환됨을 보였다.
• $n \leq 3$ 에서 전역 AGGP 추측이 무조건적으로 증명되었으며, 산술 교차 수가 임계점에서 표준 L-함수의 도함수와 일치함을 입증하였다.
• 국소 모델 $M_{\mathrm{Res}_{L_0/K}GU(h),r,L}$ 이 $\mathrm{Spec}\, O_E$ 와 동형임을 보였으며, 이는 아이젠슈타인 조건과 코트비츠 조건이 호환되며, 비분해 상황에서는 모듈러스 문제가 자명함을 의미한다.
• 비분해 상황에서는 아이젠슈타인 조건이 불필요하며, 비분해 확장에 의해 유도되는 분해로 인해 국소 모델이 자명해진다.
• 부호 추측을 사용하여 히케–쾨니그 프로젝터를 구성함으로써, 산술 쌍선을 홀수 차수 코homology로 제한할 수 있었으며, 이는 히케 고유공간을 통한 AGGP 추측의 제안을 가능하게 하였다.