[論文レビュー] Arithmetic differential equations on $GL_n$, II: arithmetic Lie theory

Alexandru Buium, Taylor Dupuy|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$p$-進完備化された$GL_n$上に、外的・内的自己同型と整合するフロベニウスの上げ上げを用いて、アーティン的接続とモーラー＝カルタン接続を構成することにより、Lie理論の算術的類似を提示する。クリスティオーベル記号には、行列版のリーマン記号が関与し、理論により一意的な算術的等スペクトルフローと素数積分が得られ、線形算術的微分方程式の枠組みが確立される。

ABSTRACT

Motivated by the search of a concept of linearity in the theory of arithmetic differential equations we introduce here an arithmetic analogue of Lie algebras and a concept of skew arithmetic differential cocycles. We will then construct such skew cocycles, based on certain remarkable lifts of Frobenius for the classical groups $GL_n, SL_n, SO_n, Sp_{n}$. The theory for $GL_n$, especially on the Galois side, will be further developed in a sequel to this paper.

研究の動機と目的

• 算術的微分方程式の文脈において、$GL_n$の算術的Lie理論の類似を構築すること。
• 外的対合（例えば、対称・反対称行列）と整合する、$GL_n$の$p$-進完備化上でのフロベニウスの上げ上げを構成すること。これは微分幾何学におけるChern接続に類似する。
• これらの上げ上げに関連する線形フローとして、算術的モーラー＝カルタン接続の類似を定義すること。
• フロベニウスの上げ上げが内的自己同型および共役類と整合するかを調査し、算術的等スペクトルフローを導くこと。
• 算術的設定における素数積分および対称性の存在と一意性を確立し、将来的なガロア理論的展開の基盤を築くこと。

提案手法

• 完全な離散的評価環$R$に、残渣体が$\overline{\mathbb{F}}_p$である$p$-微分作用素$\delta$を導入し、微分幾何学における古典的微分作用素に代わるものとする。
• $x, \delta x, \dots, \delta^n x$における制限されたべき級数を用いて、$n$次$\delta$-写像を定義し、算術的微分方程式の定式化を可能にする。
• $GL_n$の$p$-進完備化上に、$\mathcal{P}$-水平かつ$T$-作用および$W$-作用（トーラスおよびワイル群）と整合するフロベニウスの上げ上げ$\phi_{G^{**}}$を構成する。
• 行列版のリーマン記号を用いて、算術的Chern接続のクリスティオーベル記号を導出する。この記号は、$\det(s^p \cdot 1_n - x^{(p)}\Lambda(x)) \equiv V(x,s^p) \mod p^{\nu+1}$という行列式条件に埋め込まれている。
• Cramerの公式および$p$-進上げ上げを用いた再帰的構成により、対角行列$\Lambda_\nu(x)$を構成し、群作用および$\delta$-コycle条件と整合するように保証する。
• $\delta u = \Delta^{**\alpha}(u)$という算術的微分方程式と、$\delta$-モーラー＝カルタン形式$l\delta u = -_{\delta}(u \star_\delta \alpha(u)) + _{\delta}\alpha(u)$との同値性を証明し、算術的微分方程式のLie代数的構造への関連を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 算術的微分方程式の文脈において、Lie代数および接続の算術的類似をどのように定義できるか。
• RQ2 $\widehat{GL_n}$上でのフロベニウスの上げ上げが外的対合（例えば、$SL_n$、$SO_n$、$Sp_n$を定義するもの）と整合するための必要十分条件は何か。
• RQ3 行列空間上に算術的類似の等スペクトルフローを構成可能か。また、それらは一意的か。
• RQ4 素数積分は、これらの接続から生じる算術的微分方程式において果たす役割は何か。
• RQ5 算術的モーラー＝カルタン接続は、$\delta$-対数微分および$\delta$-コycle構造とどのように関係しているか。

主な発見

• 外的対合（例えば、対称・反対称行列）と整合するフロベニウスの上げ上げの存在と一意性は、対角行列$\Lambda_\nu(x)$の再帰的$p$-進構成により確立される。
• 算術的Chern接続のクリスティオーベル記号は、行列版のリーマン記号を含むことが示され、行列式条件$\det(s^p \cdot 1_n - x^{(p)}\Lambda(x)) \equiv V(x,s^p) \mod p^{\nu+1}$から導出される。
• $\delta u = \Delta^{**\alpha}(u)$の系は、$\delta$-モーラー＝カルタン方程式$l\delta u = -_{\delta}(u \star_\delta \alpha(u)) + _{\delta}\alpha(u)$と同値であることが証明され、算術的微分方程式のLie理論的解釈が得られる。
• 素数積分$\mathcal{P}_i$は、$\delta u = \Delta^{**\alpha}(u)$の解$u$に対して$\delta(\mathcal{P}_i(u)) = 0$を満たすことが示され、算術的設定における保存量を示している。
• 算術的等スペクトルフローは、共役類上での一意的な$\delta$-フローとして構成され、内的自己同型および$W$-対称性と整合する。
• 構成により、$\phi_{G^{**}}$が$T$-変形かつ$\mathcal{C}$-整合的で$N$と整合し、$\Lambda(x)$が対角で、$d \in T$、$w \in W$に対して$d \star \Lambda(x) = \Lambda(x)$および$w \star \Lambda(x) = w\Lambda(x)w^{-1}$を満たすことが保証される。