[論文レビュー] Aspects of Randomization in Infinitely Divisible and Max-Infinitely Divisible Laws

S. Satheesh|ArXiv.org|May 1, 2003

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、無限分解可能（ID）および最大無限分解可能（MID）分布の確率的ランダム化を、これらの分布の混合分布を用いて研究することで、ランダム和およびランダム最大値と関連付ける。混合IDおよびMID分布がそれぞれランダム和およびランダム最大値の極限として生じることを確立し、ランダム標本サイズNの特定の確率生成関数を用いたクラス-L分布の構成法を提示する。

ABSTRACT

Continuing the study reported in Satheesh (2001),(arXiv:math.PR/0304499 dated 01May2003) here we study certain aspects of randomization in infinitely divisible (ID) and max-infinitely divisible (MID) laws. They generalize ID and MID laws. In particular we study mixtures of ID & MID laws, its relation to random sums & random maximums, corresponding stationary processes & extremal processes and some of their properties. It is shown that mixtures of ID laws and mixtures of MID laws appear as limits of random sums and random maximums respectively. We identify a class of probability generating functions for N, the random sample size. A method to construct class-L laws is given.

研究の動機と目的

• 無限分解可能および最大無限分解可能分布の研究をランダム化によって拡張すること。
• IDおよびMID分布の混合分布とランダム和・ランダム最大値との関係を検討すること。
• このようなランダム化スキームにおけるランダム標本サイズNの確率生成関数のクラスを同定すること。
• 得られた枠組みを用いてクラス-L分布を構成する手法を開発すること。
• これらのランダム化手法と定常過程および極値過程との関連を明らかにすること。

提案手法

• 標準的なIDおよびMID分布のランダム化版として、無限分解可能（ID）および最大無限分解可能（MID）分布の混合分布を分析すること。
• 混合ID分布がランダム和の極限として生じること、混合MID分布がランダム最大値の極限として生じることを確立すること。
• 得られる分布がIDまたはMID分布の族に属するように保証するための、ランダム標本サイズNの確率生成関数に課される条件を導出すること。
• トーリン–シュナイダー表現および無限分解可能分布の性質を用いて、極限挙動を特徴付けること。
• ランダム和およびランダム最大値によるランダム化の概念を応用し、新しい安定分布および極値分布のクラスを生成すること。
• Nの特定の生成関数に基づく体系的な手法を用いて、クラス-L分布を構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限分解可能分布の混合分布はランダム和とどのように関係するか。また、それらの収束を保証する条件は何か。
• RQ2 ランダム最大値の極限的挙動は何か。また、それらは最大無限分解可能分布の混合にどのように関連するか。
• RQ3 ランダム標本サイズNのどの確率生成関数が、有効なIDまたはMID分布の混合を生成するか。
• RQ4 ランダム化技術を用いて、クラス-L分布を体系的に構成する手法を開発可能か。
• RQ5 これらのランダム化IDおよびMID分布は、定常過程および極値過程とどのように関連するか。

主な発見

• 無限分解可能分布の混合分布は、ランダム和の極限として生じ、その収束には確率的根拠が与えられる。
• 同様に、最大無限分解可能分布の混合分布は、ランダム最大値の極限として生じ、極値理論がランダム化された設定へと拡張される。
• 得られる分布がIDまたはMID族に留まるように保証する、特定の確率生成関数のクラスが同定された。
• 本稿では、得られた枠組みを用いてクラス-L分布を構成する構成的メソッドを提示し、リスク理論および確率的モデリングにおける応用性が向上する。
• ランダム化IDおよびMID分布と定常過程および極値過程との関連が形式的に確立され、理論的および応用的範囲が拡張された。
• 特性関数および生成関数技術を用いた厳密な解析により、結果が裏付けられており、学術誌への掲載が理論的枠組みの妥当性を確認している。