[論文レビュー] Asymptotic coupling and a weak form of Harris' theorem with applications to stochastic delay equations

Martin Hairer, Jonathan C. Mattingly+1 more|ArXiv.org|Feb 26, 2009

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 24被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、漸近的カップリングと弱いハリス定理を用いて、無限次元空間上のマルコフ過程、特に確率的遅れ方程式において、一意的エルゴード性およびスペクトルギャップの存在を保証する条件を確立する。解が異なる初期条件から出発しても時間の経過とともに分布的にカップリングする場合、かつリャプノフ関数が存在するならば、至高の不変測度が唯一つであり、かつ収束が指数的速さで起こることを示している。これは、遷移核が互いに特異的であっても成り立つ。

ABSTRACT

There are many Markov chains on infinite dimensional spaces whose one-step transition kernels are mutually singular when starting from different initial conditions. We give results which prove unique ergodicity under minimal assumptions on one hand and the existence of a spectral gap under conditions reminiscent of Harris' theorem. The first uses the existence of couplings which draw the solutions together as time goes to infinity. Such "asymptotic couplings" were central to recent work on SPDEs on which this work builds. The emphasis here is on stochastic differential delay equations.Harris' celebrated theorem states that if a Markov chain admits a Lyapunov function whose level sets are "small" (in the sense that transition probabilities are uniformly bounded from below), then it admits a unique invariant measure and transition probabilities converge towards it at exponential speed. This convergence takes place in a total variation norm, weighted by the Lyapunov function. A second aim of this article is to replace the notion of a "small set" by the much weaker notion of a "d-small set," which takes the topology of the underlying space into account via a distance-like function d. With this notion at hand, we prove an analogue to Harris' theorem, where the convergence takes place in a Wasserstein-like distance weighted again by the Lyapunov function. This abstract result is then applied to the framework of stochastic delay equations.

研究の動機と目的

• 標準的なハリス理論が、互いに特異的である遷移核のため失敗する確率的遅れ方程式（SDDEs）における小さな集合の欠如に対処する。
• 無限次元空間上のマルコフ過程における一意的エルゴード性のための最小限で検証可能な条件を確立する。
• 古典的な「小さな集合」条件を、状態空間上の距離関数に依存する「d-小さな集合」条件に置き換えた、ハリスの定理の弱い形を構築する。これにより、ライプシッツ的距離に類似した距離での指数的収束を保証する。
• 非退化確率偏微分方程式（SPDEs）および状態依存ノイズを有するSDDEsへのエルゴード理論の適用範囲を拡張する。
• 自然な条件下で、SDDEsに対する一意的不変測度および指数的収束の証明という、長年の未解決問題を解決する。

提案手法

• 漸近的カップリングを導入：時間の無限大において分布的に収束するパスのカップリングであり、遷移核が特異的であっても成立する。
• リャプノフ関数を用いて、過程の成長を制御し、安定性を保証する。
• ハリスの定理における古典的「小さな集合」条件を、状態空間上の距離関数dに依存する「d-小さな集合」条件に置き換える。
• 弱いハリス定理を適用し、リャプノフ関数で重み付けされたライプシッツ的距離における指数的収束を証明する。
• ウィーナー過程におけるシフトカップリング技術を用いて、解が漸近的にカップリングするように強制する。これはSPDEの手法にインspiredされたものである。
• 抽象的な結果を確率的遅れ方程式に適用し、それらが高々一つの不変測度を有し、指数的速さで収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、確率的遅れ方程式が高々一つの不変測度を有するか？
• RQ2 遷移核が互いに特異的であり、強いフィラー性が成立しない場合に、指数的エルゴード性を確立できるか？
• RQ3 古典的な「小さな集合」条件の代わりに、距離に依存する「d-小さな集合」条件を用いた、ハリスの定理の弱い形を定式化できるか？
• RQ4 漸近的カップリングは、無限次元的かつ特異的マルコフ過程における一意的エルゴード性の証明にどのように利用できるか？
• RQ5 この理論は、非退化ノイズを有するSPDEsに拡張可能か、特にSDDEsに還元可能な系に適用可能か？

主な発見

• 異なる初期条件から出発するパス間に漸近的カップリングが存在するならば、高々一つの不変測度が存在する。
• リャプノフ関数と「d-小さな集合」条件が、リャプノフ関数で重み付けされたライプシッツ的距離における指数的収束を保証する。
• 非自明な小さな集合が存在しない場合でも、この理論は確率的遅れ方程式に適用可能であり、長年の未解決問題を解決する。
• 遅れと状態依存ノイズを有するスカラーSDDEに対して、漂移係数および拡散係数にややきつい条件を課すことで、一意的エルゴード性と指数的混合性が証明される。
• この枠組みは、多項式非線形性を有する半線形SPDEsおよびホルンダ条件を満たす加法的ノイズを有するSPDEsを含む広範な非退化SPDEのクラスに拡張可能である。
• 結果は非退化ノイズに対して頑健であり、強いフィラー性を要件としない。これにより、特異的遷移核を有する系にも適用可能である。