[論文レビュー] ASYMPTOTIC ERGODICITY OF THE EIGENVALUES OF RANDOM OPERATORS IN THE LOCALIZED PHASE

Frédéric Klopp|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 43被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、一般のランダム作用素（離散アンドリュー・モデルを含む）の局在化領域において、系のサイズが無限大に近づくにつれて、畳み込みされた固有値が確率測度の意味でポアソン点過程に収束することを証明している。この結果により、固有値の漸近的エルゴード性が確立され、N. ミナミの予想が裏付けられ、極限のポアソン過程を用いて準位間隔統計やその他のスペクトル統計を回復できるようになる。

ABSTRACT

Abstract. We prove that, for a general class of random operators, the family of the unfolded eigenvalues in the localization region is asymptotically ergodic in the sense of N. Minami (see [25]). N. Minami conjectured this to be the case for discrete Anderson model in the localized regime. We also provide a local analogue of this result. From the asymptotics ergodicity, one can recover the statistics of the level spacings as well as a number of other spectral statistics. Our proofs rely on the analysis developed in [12]. Résumé. On démontre que, pour une classe générale d’opérateurs aléatoires, les familles valeurs propres “dépliées ” sont asymptotiquement ergodiques au sens de N. Minami (voir [25]). N. Minami a ̀ conjecture ́ que ceci est vrai pour le modèle d’Anderson discret dans le régime localisé. On démontre également un résultat analogue pour les valeurs pro-pres “locales”. L’ergodicite ́ asymptotique des valeurs propres permet alors d’en déduire les statistiques des espacements de niveaux ainsi que nombre d’autres statistiques spec-trales. Nos preuves reposent sur l’analyse faite dans [12].

研究の動機と目的

• 一般のランダム作用素の局在化領域における畳み込み固有値の漸近的エルゴード性を証明すること。
• 離散アンドリュー・モデルの局在化領域における固有値統計がポアソン過程に収束するというN. ミナミの予想を確認すること。
• スペクトル区間内での固有値に対する漸近的エルゴード性の局所的類似を確立すること。
• 固有値の漸近的ポアソン的挙動から、準位間隔分布などのスペクトル統計を導出すること。
• 従来の仮定（たとえばポテンシャル分布の滑らかさ）を超えて、スペクトル統計の結果の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 局在化領域における固有値統計を制御するため、Wegner推定とMinami推定（仮定(W)および(M)）を用いる。
• 著者らは[12]の近似定理、特に定理1.16を用い、熱力学的極限における固有値点過程とポアソン過程との関係を確立する。
• 点過程は畳み込みを用いて構築される：固有値は累積状態密度（IDS）を介して実数直線上の一様過程に写像される。
• 変換の下での固有値過程のプッシュフォワードが、強度1のポアソン過程に収束することを示すことにより収束を確立する。
• 系のサイズ |Λ| → ∞ のとき、元の固有値過程と畳み込み固有値過程との間の変換が法則において恒等写像に収束することを利用している。
• 弱収束と連続写像定理を用いて、ω-ほとんど surely での収束を示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム作用素の局在化領域における畳み込み固有値の族は、熱力学的極限でポアソン過程に収束するか？
• RQ2 N. ミナミの予想、すなわち離散アンドリュー・モデルの局在化領域における固有値統計がポアソン過程に収束するか？
• RQ3 スペクトル区間内での固有値に対する漸近的エルゴード性の局所的バージョンを確立できるか？
• RQ4 準位間隔のようなスペクトル統計は、固有値の漸近的ポアソン的挙動から導出可能か？
• RQ5 ランダムポテンシャルの分布が滑らかまたは正則であるという仮定を超えて、結果をどの程度一般化できるか？

主な発見

• 十分に大きな結合定数 λ に対して、畳み込み固有値点過程 Ξ(ω,t,Λ) は |Λ| → ∞ のとき、ω-ほとんど surely に強度1のポアソン過程に法則収束する。
• この結果により、N. ミナミの離散アンドリュー・モデルの局在化領域における固有値統計に関する予想が裏付けられる。
• スペクトル区間 J 内の局所的固有値過程は、強度1のポアソン過程に収束し、密度 ν_J(t)dt に従う。
• 準位間隔分布は指数分布に収束し、極限分布は ∫_J e^{-ν_J(t)·|J|x} ν_J(t) dt で与えられる。
• ポテンシャル分布の正則性を要件としないで収束が成立する——分布の有界性と compact 支持性のみを仮定している。
• 証明により、元の固有値過程と畳み込み固有値過程との間の変換が恒等写像に法則収束することが示され、ポアソン極限の保証が得られる。