[論文レビュー] Asymptotic properties of some space-time fractional stochastic equations

Mohammud Foondun, Erkan Nane|Strathprints: The University of Strathclyde institutional repository (University of Strathclyde)|May 18, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、空間時間白色ノイズによって駆動される空間時間分数確率的熱方程式のクラスの解の漸近的挙動を、分数デュハメルの原理とマルリビン計算を用いて調査する。モーメントバウンド、時間におけるホルダー連続性、ノイズ励起性を確立し、キャプト・微分作用素と安定作用素の生成子によって支配されるサブディファスィブなダイナミクスを示す既存の時間分数SPDEに関する結果を拡張する。

ABSTRACT

Consider non-linear time-fractional stochastic heat type equations of the following type, $$\partial^β_tu_t(x)=-ν(-Δ)^{α/2} u_t(x)+I^{1-β}_t[λσ(u)\stackrel{\cdot}{F}(t,x)]$$ in $(d+1)$ dimensions, where $ν>0, β\in (0,1)$, $α\in (0,2]$. The operator $\partial^β_t$ is the Caputo fractional derivative while $-(-Δ)^{α/2} $ is the generator of an isotropic stable process and $I^{1-β}_t$ is the fractional integral operator. The forcing noise denoted by $\stackrel{\cdot}{F}(t,x)$ is a Gaussian noise. And the multiplicative non-linearity $σ$ is assumed to be globally Lipschitz continuous. Under suitable conditions on the initial function, we study the asymptotic behaviour of the solution with respect to time and the parameter $λ$. In particular, our results are significant extensions of existing results. Along the way, we prove a number of interesting properties about the deterministic counterpart of the equation.

研究の動機と目的

• 空間時間白色ノイズを伴う非線形時間分数確率的熱方程式の解の長時間における漸近的挙動を研究すること。
• 時間分数SPDEに関する既存の結果を、空間時間分数ダイナミクスと乗法的ノイズを組み込むことで拡張すること。
• 解過程の時間におけるモーメントバウンドおよびホルダー連続性の性質を確立すること。
• ノイズ強度パラメータλが解の成長および安定性に与える影響を分析すること。
• 分数デュハメルの原理と確率積分を用いた弱形式による解の存在を証明すること。

提案手法

• 空間時間分数確率的偏微分方程式を、キャプト微分作用素∂^β_tと等方的α安定過程の生成子−(−Δ)^α/2を用いて定式化する。
• 分数デュハメルの原理を適用して、時間分数熱核G_tを含む弱積分形に方程式を変換する。
• ウォルシュの確率積分理論を用いて、空間時間白色ノイズとの確率的畳み込みとして解を定義する。
• マルリビン計算とバーグシュタインの不等式を用いて、インクリメントのモーメントを推定し、ホルダー連続性を確立する。
• 熱核の下界を導出し、アニュラス上の幾何的議論を用いて、クラウス展開における積分の推定を行う。
• コルモゴロフの連続性定理を適用して、適切なモーメントバウンドのもとで、解のサンプルパスの時間におけるホルダー連続性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 β ∈ (0,1) であるキャプト微分作用素によって誘発されるサブディファスィブな挙動は、解の長時間ダイナミクスにどのように影響するか？
• RQ2 ノイズ強度パラメータλは、解の成長および正則性にどのような影響を及えるか？
• RQ3 解過程が時間においてホルダー連続となる条件は何か？また、最適なホルダー指数は何か？
• RQ4 空間的性質としてのα安定生成子とノイズ構造は、解のモーメント挙動にどのように影響するか？
• RQ5 解はどの程度ノイズ励起性を示すか？また、古典的確率的熱方程式と比べてどう異なるか？

主な発見

• 解は時間に関して多項式的に成長するモーメントバウンドを示し、その成長率はβ、α、および空間次元dに依存する。
• 解は時間に関してホルダー連続であり、指数はγ < (1 − βγ/α)/2を満たす。ここでγは初期データの正則性に関連する。
• ノイズ励起性が確立された：解の2次モーメントはλが増加するにつれて時間に関して指数関数的に成長し、ノイズへの強い応答を示す。
• k個の時間区間における熱核の積の下界が導出され、大規模なtに対してクラウス展開における級数が発散することを示す。
• ホルダー連続性の証明は、安定過程の特性関数の減衰性質とフーリエ解析を用いて、時間インクリメントのL^pノルムを推定することで行われる。
• 本研究の結果は、時間および空間の両方の分数的ダイナミクスを組み込み、新たな正則性および成長特性を証明することで、時間分数SPDEに関する先行研究を拡張する。