[論文レビュー] Asymptotics and singularities in cosmological models with positive cosmological constant

Florian Beyer|ArXiv.org|Oct 23, 2007

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 160被引用数 11

ひとこと要約

本学位論文は、正の宇宙定数を有する宇宙論的時空を研究するための高精度な擬スペクトル数値法を開発し、Δ³および׳トポロジーにおけるλ-Gowdy解に焦点を当てる。安定な「下から上へ」のスペクトル的手法を導入し、Gowdy特異点の微細構造を的確に捉えることに成功し、Δ³上のλ-Gowdy解の非線形的安定性を示唆する。また、交換子場方程式を用いて、λ ≠ 0 である׳-Gowdy時空の初の数値計算を実現した。

ABSTRACT

This thesis is concerned with global properties of those cosmological solutions of Einstein's field equations which obey accelerated expansion into the future driven by a non-vanishing cosmological constant, as suggested by current cosmological observations. In particular, the strong cosmic censorship and BKL conjecture are investigated in special classes of spacetimes. For this, a new numerical technique based on spectral methods is introduced to be able to deal with situations where the spatial topology is non-trivial from the numerical point of view, such as the 3-sphere. Therefor, an explicit spectral regularization at the - in single patch approaches inevitable - coordinate singularities is worked out. After having collected the necessary background material, including a description of the problems of interest, we discuss the method and its implementation. Then we perform various tests, in particular also in the presence of cosmological singularities. After that, the numerical method is applied to obtain insights into three open issues in mathematical cosmology: first, we make an attempt to describe the singularity structure in Gowdy spacetimes with positive cosmological constants with spatial 3-sphere and those with spatial 3-torus topology. Second, we perform a stability analysis of Gowdy symmetry within the class of U(1)-symmetric spacetimes for spatial 3-sphere topology. Third, we make a preliminary analysis of the behavior of certain $λ$-Taub-NUT Cauchy horizons under Gowdy perturbations. Finally, we summarize the current status and open problems, and give an outlook.

研究の動機と目的

• 正の宇宙定数を有する宇宙論的モデルにおけるアインシュタイン場方程式を解くための堅牢な数値フレームワークを構築すること、特に座標特異点を有する空間トポロジー（例：Δ³）に焦点を当てる。
• スペクトル法を用いて、Δ³および׳トポロジーにおけるλ-Gowdy時空のGowdy型特異点への近づき方を高精度にシミュレートする課題に取り組む。
• Δ³トポロジーにおけるλ-Gowdy解の非線形的安定性を検証し、Gowdy対称な摂動下におけるλ-Taub-NUT時空の因果ホライズンの安定性を調査する。
• 交換子場方程式をΔ³トポロジーに拡張する可能性を検討し、特異点の解消およびゲージ適合性の向上を図る。
• 将来のde Sitter的漸近的時空（FAdS時空）の高精度数値的検討の基盤を築くこと、およびその宇宙マイクロ波背景放射や重力波の現象論的意義を明らかにすること。

提案手法

• Σ(2) 上の一般化フーリエ級数に基づく擬スペクトル法を採用し、滑らかでグローバルなフレーム構造を活用してΔ³トポロジーを扱い、座標特異点を回避する。
• 特異点近傍での解の進化において安定性と精度を向上させる、新規の「下から上へ」スペクトル離散化戦略を導入し、特にλ-Gowdyモデルに有効である。
• 共形場方程式におけるレヴィ・チビタの共形ガウスゲージを用いて進化を記述するが、均一な特異点への接近を達成できないという限界を特定した。
• 時空的面積ゲージで定式化されGowdy対称性に適合された交換子場方程式を適用し、λ > 0 を必要としない数値的進化を可能にした。これは標準的な共形場方程式とは対照的である。
• 写像 ℤ³ → ℚ³ を用いてスペクトルデータを転送し、滑らかさと対称性を保ちながらℚ³上での進化を実装する。
• 制御量を用いた数値誤差のモニタリングと、線形化系の既知の正確解との比較を通じて、実装の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極座標の極に特異点を有するℚ³トポロジーにおいて、高次のスペクトル法を適切に応用してアインシュタイン場方程式を進化させることは可能か？
• RQ2 ℚ³トポロジーにおけるλ-Gowdy解のクラスは、U(1) 対称クラス内での摂動に対して非線形的安定性を示すか？
• RQ3 交換子場方程式を用いてλ ≠ 3 であるℚ³-Gowdy時空を数値的に計算可能か？また、この手法は共形ガウスゲージに比べて特異点の解消をより均一に行うか？
• RQ4 U(1) 対称摂動下におけるλ-Taub-NUT時空の因果ホライズンの挙動はいかなるものか？安定性は保たれるか？
• RQ5 交換子場方程式の1+1次元形式をℚ³トポロジーに拡張することで、Garfinkleがℚ¹×ℚ²上で得た結果と同等のスペクトル分解能を達成できるか？

主な発見

• 「下から上へ」スペクトル法は、ℚ³トポロジー上での線形化および非線形λ-Gowdy時空の進化において、最も安定的かつ高精度な手法であると判明した。
• 数値的結果から、U(1) 対称解のクラス内では、ℚ³上におけるλ-Gowdy解が非線形的安定性を示す可能性があるが、さらなる解析が必要である。
• レヴィ・チビタの共形ガウスゲージは、特異点への均一な接近を達成できず、高精度であるものの他の手法との直接比較が制限された。
• 交換子場方程式により、λ ≠ 0 である׳-Gowdy時空の初の公表された数値シミュレーションが実現され、特異点付近の微細構造を高精度で解明した。
• 時空的面積ゲージに於ける交換子場方程式の実装により、λ > 0 を要求しない進化が可能となり、標準的な共形場方程式に比べてより柔軟なフレームワークを提供した。
• 予備的分析から、交換子場方程式を1+1次元的にℚ³トポロジーに拡張することで、Garfinkleのℚ¹×ℚ²上での結果と同等のスペクトル分解能が得られ、スペクトル収束の利点を有する可能性が示唆された。