[논문 리뷰] Automorphisms of Strong Homotopy Lie Algebras of Local Observables

Patricia Ritter, Christian Saemann|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 03.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 22인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 2-풀리스에서 임의의 n-풀리스 다양체로 국소 관측가의 강한 호모토피 리 대수(shlalos)의 구성법을 일반화하며, 이러한 shlalos가 와전된 비노그라도프 병렬성의 단면들로 구성된 리 n-대수로 약하게 통합됨을 보여준다. 약한 자동형의 호환성 문제를 해결하기 위해 고차 브라켓을 갖춘 강화된 n-풀리스 구조를 도입함으로써, 일관된 분류된 파oisson 구조를 확보하고, n-풀리스 다양체를 심플렉틱 리 n-대수다이드로 해석할 수 있는 자연스러운 해석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

There is a well-established procedure of assigning a strong homotopy Lie algebra of local observables to a multisymplectic manifold which can be regarded as part of a categorified Poisson structure. For a 2-plectic manifold, the resulting Lie 2-algebra is isomorphic to a sub Lie 2-algebra of a natural Lie 2-algebra structure on an exact Courant algebroid. We generalize this statement to arbitrary n-plectic manifolds and study automorphisms on the arising Lie n-algebras. Our observations may be useful in studying the quantization problem on multisymplectic manifolds.

연구 동기 및 목표

• 2-풀리스에서 임의의 n-풀리스 다양체로 국소 관측가의 강한 호모토피 리 대수의 기존 구성법을 확장하는 것.
• shlalos의 약한 자동형이 기저가 되는 n-풀리스 다양체의 구조를 유지하지 못하는 문제를 해결하는 것.
• 약한 자동형에 대해 변환되는 k-항의 등급 반대칭 브라켓을 갖춘 강화된 구조로 shlalos를 강화함으로써, shlalos를 n-풀리스 다양체에 대해 함자적 할당하는 것을 확립하는 것.
• n-풀리스 다양체 위의 국소 관측가의 리 n-대수가 와전된 비노그라도프 병렬성의 단면들로 구성된 리 n-대수의 부분대수와 약하게 동형임을 보이는 것.
• 심플렉틱 리 n-대수다이드로 간주되는 n-풀리스 다양체에 대해 강화된 구조를 도입함으로써 분류된 파oisson 구조를 제공하는 것.

제안 방법

• 미분형식과 해밀토니안 다중벡터장들을 사용하여 n-풀리스 다양체 위의 국소 관측가의 강한 호모토피 리 대수를 구성한다.
• 기저(bundle) $ TM \bigoplus \bigwedge^{n-1}T^*M $를 갖는 아티야 및 쿠르앙트 병렬성의 일반화로서, n-풀리스 형식에 의해 와전된 비노그라도프 병렬성을 도입한다.
• 와전된 비노그라도프 병렬성의 단면들로 구성된 리 n-대수가 국소 관측가의 shlalo와 약하게 동형인 부분대수를 포함하고 있음을 보여준다.
• k-항의 등급 반대칭 브라켓을 도입하여 n-풀리스 다양체를 강화함으로써, 약한 자동형에 대해 비자명하게 변환되는 브라켓을 정의한다. 이 브라켓의 차수는 $1-k$이다.
• 감소된 대칭 대수 $\bar{S}(V)$ 위의 코알제브라 형식을 사용하여 $L_\infty$ 대수의 코미터레이터를 기반으로 한 호모토피 관계와 구조 사상들을 묘사한다.
• 코곱, 언셔플링, 코미터레이터에서의 등급 부호를 처리하기 위해 일관되게 코스쿨 부호 규칙을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2-풀리스 다양체 위의 국소 관측가의 리 2-대수는 어떻게 임의의 n-풀리스 다양체로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 표준적으로 shlalo를 쿠르앙트 병렬성의 단면들로 통합하는 방법이 엄격한 동형이 되지 않는 이유는 무엇이며, 이를 어떻게 수정할 수 있는가?
• RQ3 n-풀리스 다양체에 어떤 구조를 추가해야, 관련된 shlalo의 약한 자동형이 강화된 다양체의 자동형으로 대응되는가?
• RQ4 n-풀리스 다양체 위의 국소 관측가의 리 n-대수는 고차 쿠르앙트 병렬성의 일반화인 병렬성의 단면들로 구성된 리 n-대수로 자연스럽게 통합될 수 있는가?
• RQ5 n-풀리스 다양체는 심플렉틱 리 n-대수다이드로 자연스럽게 해석될 수 있으며, 이는 shlalo의 구조와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• n-풀리스 다양체 위의 국소 관측가의 shlalo는 와전된 비노그라도프 병렬성의 전역 단면들로 구성된 리 n-대수의 부분대수와 약하게 동형이다.
• 와전된 비노그라도프 병렬성의 단면들로 구성된 리 n-대수로의 통합은 약한 동형을 요구하므로, 엄격한 자동형의 구조와의 불일치를 시사한다.
• shlalo의 약한 자동형은 기저가 되는 n-풀리스 다양체의 구조를 유지하지 못하므로, 표준 설정에서는 엄격한 함자적 할당이 성립하지 않는다.
• n-풀리스 다양체에 차수 $1-k$인 k-항의 등급 반대칭 브라켓을 추가함으로써, 약한 자동형에 대해 함자적 성질이 복원된다.
• 이러한 브라켓을 갖춘 강화된 n-풀리스 다양체는 심플렉틱 리 n-대수다이드와 동형이 되며, 이는 심플렉틱 다양체의 자연스러운 분류된 해석을 제공한다.
• shlalo의 기초가 되는 2벡터 공간은 심플렉틱 리 1-대수다이드 $T[1]M$ 위의 차수 0 함수의 대수와 동형이 되며, 이는 분류된 관측가의 기하적 실현을 확인한다.