[논문 리뷰] Background independent geometry and Hopf cyclic cohomology

Alain Connes, Henri Moscovici|ArXiv.org|2005. 05. 23.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 17인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 호프 순환 코hom로의 배경 독립적 기하 프레임워크를 제안하여 분할의 횡방향 지수 이론을 다루며, 비가환 기하학과 양자 중력 간의 연결 고리를 설정한다. 이는 횡방향 기하를 지배하는 호프 대수 $\mathcal{H}_n$를 구성하고, 그 순환 코hom로가 겔판트-푸크 코hom로와 동형임을 증명함으로써 국소 지수 공식을 특성 코chains를 통해 구체적으로 실현한다.

ABSTRACT

This is primarily a survey of the way in which Hopf cyclic cohomology has emerged and evolved, in close relationship with the application of the noncommutative local index formula to transverse index theory on foliations. Being Diff-invariant, the geometric framework that allowed us to treat the `space of leaves' of a general foliation provides a `background independent' set-up for geometry that could be of relevance to the handling of the the background independence problem in quantum gravity. With this potential association in mind, we have added some new material, which complements the original paper and is also meant to facilitate its understanding. Section 2 gives a detailed description of the Hopf algebra that controls the `affine' transverse geometry of codimension $n$ foliations, and Section 5 treats the relative version of Hopf cyclic cohomology in full generality, including the case of Hopf pairs with noncompact isotropy.

연구 동기 및 목표

• 분할의 잎의 공간을 위한 배경 독립적 기하 프레임워크를 개발함으로써 양자 중력과 관련된 바람직한 기하학적 구조를 확립한다.
• 비가환 기하학을 활용하여 분할 상의 초타원적 연산자의 횡방향 지수 문제를 해결한다.
• 횡방향 기하의 맥락에서 호프 순환 코hom로와 겔판트-푸크 코hom로 간의 연결 고리를 설정한다.
• 비가환 기하학의 상대적 설정으로의 호프 순환 코hom로의 일반화를 시도하며, 비콤팩트 고립군을 포함한다.
• 스펙트럼 불변량으로 구성된 특성 코chains를 통해 국소 지수 공식의 기하적 실현을 제공한다.

제안 방법

• codimension $n$ 분할의 횡방향 프레임 번들의 대칭 대수로서 호프 대수 $\mathcal{H}_n$를 구성한다.
• 프레임 번들의 매끄러운 함수 공간 위에 $\mathcal{H}_n$의 표준 모듈-대수 표현을 정의한다.
• $\mathcal{H}_n$-모듈에 대한 불변 추적을 도입하여 스펙트럼 불변량을 통해 특성 코체인을 생성한다.
• 유니버설 국소 지수 공식을 적용하여 제타 함수의 잔여부와 반복된 교환자들을 이용한 지수 페어링을 표현한다.
• 표준 사상 $\Phi$를 사용하여 군 코체인을 호프 순환 코hom로 복합체 내의 순환 코체인으로 올린다.
• 미분형사의 임의의 차수로의 연장에 따른 미분형식의 역상에 의해 순환 코체인의 명시적 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호프 순환 코hom로는 어떻게 분할 상의 초타원적 연산자의 횡방향 지수를 계산할 수 있는가?
• RQ2 횡방향 기하를 지배하는 호프 대수 $\mathcal{H}_n$의 정확한 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ3 절대 및 상대적 경우에서 호프 순환 코hom로와 겔판트-푸크 코호모로 간에 코호모로 이隳가 존재하는가?
• RQ4 비콤팩트 고립군을 포함하는 쌍, 예를 들어 $({\mathcal{H}}_{n+1},\mathfrak{o}_{n,1})$의 상대적 호프 순환 코호모로를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ5 이 기하 프레임워크의 배경 독립성은 양자 중력의 배경 독립성 문제와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 횡방향 기하에 관련된 $\mathcal{H}_n$-모듈의 순환 코호모로는 절대 및 상대적 경우 모두에서 겔판트-푸크 코호모로와 동형이다.
• codimension 1에서의 고드빌론-베이 클래스와 횡방향 기본 클래스는 특성 코체인을 통해 호프-순환 클래스로 구체적으로 실현된다.
• 국소 지수 공식은 반복된 교환자와 딕스미에르 추적을 포함하는 국소 코체인의 유한한 선형 조합을 통해 실현된다.
• 표준 사상 $\Phi$는 군 1-코체인 $C_{1,0}(gv)$를 순환 코체인으로 변환하며, 그 평가에는 $\log\varphi'$의 도함수가 포함되어 있어 고드빌론-베이 클래스를 코딩한다.
• 미분형사의 임의의 차수로의 연장에 따른 부피 형식 $gv$의 역상은 $\frac{d}{dx}(\log\varphi') \, dt \wedge dx \wedge dy$에 비례하는 3-형식이 되며, 이는 순환 코체인을 결정한다.
• 결과로 얻어진 순환 코체인은 군 대수에서 항등원에만 지지되어 있으며, $\chi_\tau(\delta_1)(f^0 U_\varphi^*, f^1 U_{\varphi^{-1}}^*) = \int_{F^+\mathbb{R}} f^0 \cdot \widetilde{\varphi}^*(f^1) \cdot y \frac{d}{dx}(\log\varphi') \frac{dx \wedge dy}{y^2}$ 형태를 가진다.