[論文レビュー] Basic loci in Shimura varieties of Coxeter type

Ulrich Goertz, Xuhua He|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、基本的局所がコクセター要素に関連するデリーニュ＝ルスティグ多様体に分解するコクセター型のシムーラ多様体を分類し、このような場合に特に良い幾何的性質およびストラティフィケーションの性質を示す。主な貢献は、基本的局所を古典的デリーニュ＝ルスティグ集合の和集合として一様に記述することであり、ストラティフィケーションは内型のブリュアット＝ティッツ複体に従い、ストラトムの滑らかで正規な閉包が得られる。

ABSTRACT

This paper is a contribution to the general problem of giving an explicit description of the basic locus in the reduction modulo $p$ of Shimura varieties. Motivated by \cite{Vollaard-Wedhorn} and \cite{Rapoport-Terstiege-Wilson}, we classify the cases where the basic locus is (in a natural way) the union of classical Deligne-Lusztig sets associated to Coxeter elements. We show that if this is satisfied, then the Newton strata and Ekedahl-Oort strata have many nice properties.

研究の動機と目的

• PEL型シムーラ多様体の modulo p での基本的局所の明示的幾何的記述を提供すること。
• 基本的局所がコクセター要素に関連する古典的デリーニュ＝ルスティグ多様体に分解する条件を特定すること。
• このようなコクセター型の状況において、ニュートンストラトムおよびエーケルダル＝オールズトロムストラトムが滑らかで正規な閉包を有するなど、望ましい幾何的性質を示すこと。
• アフィンデリーニュ＝ルスティグ多様体およびブリュアット＝ティッツ複体を用いて、GU(1,n−1) やドリーフェルトの半空間といった既存の結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 著者たちは、$\sigma$-共役性と $\sigma$-共役類の集合 $B(G,\mu)$ を含む条件を満たす $G(L)/P$ の商として定義されるアフィンデリーニュ＝ルスティグ多様体 $X(μ,b)_P$ を用いて、基本的局所を分析する。
• ディエュドネ理論を用いて、ラポポート＝ジンクス空間の点を $L$-ベクトル空間内のラティスと関連づけ、基本的局所をアフィンデリーニュ＝ルスティグ多様体の和集合として特定する。
• 基本的局所のストラティフィケーションは、内型 $\mathbb{J}_\tau$ のブリュアット＝ティッツ複体を用いて記述され、ケースに応じて頂点または辺に対応するインデックス集合をとる。
• ブリオンとポロの境界成分および次元の上限に関する結果を用いて、デリーニュ＝ルスティグ多様体 $X_Q(w')$ の閉包が滑らかで正規であることを証明する。
• 包含関係 $\overline{Y(w)} \subseteq \overline{X_Q(w')} \cup X_Q(\mathrm{id})$ が等号となるのは、$w_0 w'$ が特定の二重コセット内での最長元であるときであり、これはすべてのコクセター型ケースで成立することが確認される。
• 具体的な例として、$GU(1,2m)$、$GU(1,2m-1)$ の分解型および非分解型、および非標準的レベル構造をもつ $GU(1,3)$ を分析し、一般枠組みの妥当性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PEL型シムーラ多様体の基本的局所が、コクセター要素に関連する古典的デリーニュ＝ルスティグ集合の和集合となる条件は何か？
• RQ2 このようなコクセター型の状況において、ニュートンストラトムおよびエーケルダル＝オールズトロムストラトムの幾何的性質はどのように振る舞うか？
• RQ3 内型のブリュアット＝ティッツ複体が、基本的局所のストラティフィケーションのパrametrization において果たす役割は何か？
• RQ4 基本的局所内のデリーニュ＝ルスティグ多様体の閉包が、いつ滑らかまたは正規のままであるか？
• RQ5 基本的局所内のストラトムの次元およびインデックス集合は、ダイニン型およびアフィンワイル群へのフロベニウス作用とどのように関係するか？

主な発見

• 基本的局所はエーケルダル＝オールズトロムストラトムの和集合であり、コクセター型の状況では、それぞれがコクセター要素に関連する古典的デリーニュ＝ルスティグ集合の和集合である。
• $p$ が $GU(1,2m)$ で分岐する場合、基本的局所には次元 $0$ から $m$ までの $m+1$ 個の EO ストラトムがあり、タイプ $2i$ の頂点ラティスによってインデックス付けられる。
• 分解型の $GU(1,2m-1)$ の場合、$m+2$ 個の EO ストラトムがある：次元 $0$ から $m-1$ の $m$ 個と、次元 $m$ の $2$ 個で、後者は共役作用の下で単一の軌道に対応する。
• 非分解型の $GU(1,2m-1)$ の場合、基本的 EO ストラトムは頂点ラティスの型と一対一対応し、ストラティフィケーションのインデックス集合は $\mathbb{J}_\tau$ のブリュアット＝ティッツ複体の頂点の集合である。
• $GU(1,3)$ で非標準的レベル構造をとる場合、基本的局所には $6$ 個の EO ストラトムがある：次元 $0$ の $1$ 個、次元 $1$ の $1$ 個、次元 $2$ の $2$ 個、次元 $3$ の $2$ 個で、最高次元のストラトムは非コクセター要素 $s_1s_0s_1$ および $s_1s_2s_1$ に対応する。
• 各デリーニュ＝ルスティグ多様体 $X_Q(w')$ の閉包は滑らかで正規であり、$\overline{Y(w)} = \overline{X_Q(w')} \cup X_Q(\mathrm{id})$ が成立するのは、$w_0 w'$ が関連する二重コセット内での最長元であるときであり、これはすべてのコクセター型ケースで検証されている。