[論文レビュー] Bergman kernels and equilibrium measures for line bundles over projective manifolds

Robert J. Berman|ArXiv.org|Oct 24, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、大規模な $k$ の極限における、射影多様体上の正則線束に対するBergman核、均衡測度、曲率測度の漸近的同値性を確立する。すべての3つの測度が $1_D (dd^c\theta)^n/n!$ に収束することを示し、$D = \{\phi_e = \phi\}$ であるとし、$\phi_e$ が拡張された基本被覆の外で $\mathcal{C}^{1,1}$ であることを示し、古典的結果を非・正則的かつ特異的計量への一般化を達成する。

ABSTRACT

Let L be a holomorphic line bundle over a compact complex projective Hermitian manifold X. Any fixed smooth hermitian metric h on L induces a Hilbert space structure on the space of global holomorphic sections with values in the k th tensor power of L. In this paper various convergence results are obtained for the corresponding Bergman kernels (i.e. orthogonal projection kernels). The convergence is studied in the large k limit and is expressed in terms of the equilibrium metric h_e associated to h, as well as in terms of the Monge-Ampere measure of h on a certain support set. It is also shown that the equilibrium metric h_e is in the class C^{1,1} on the complement of the augmented base locus of L. For L ample these results give generalizations of well-known results concerning the case when the curvature of h is globally positive (then h_e=h). In general, the results can be seen as local metrized versions of Fujita's approximation theorem for the volume of L.

研究の動機と目的

• 一般の正則線束と任意の滑らかなヘルミート計量に対して、古典的Bergman核漸近的性質を、正則的かつ正の曲率の状況を超えて拡張すること。
• Bergman関数および体積形式の極限挙動を、均衡計量 $\phi_e$ および集合 $D = \{\phi_e = \phi\}$ を用いて特徴付けること。
• 均衡計量 $\phi_e$ が、$L$ が正則的でない場合でも、$L$ の拡張された基本被覆の補集合上で $\mathcal{C}^{1,1}$ であることを確立すること。
• 測度の収束を用いて、$L$ の体積に対するFujitaの近似定理の局所的メトリシzed版を提供すること。

提案手法

• グローバルな多変数ポテンシャル理論を用いて、正の曲率を持つすべての計量 $\widetilde{\phi} \leq \phi$ の上包として均衡計量 $\phi_e$ を定義する。
• 3つの主要な測度を構成する：均衡測度 $\mu_\phi = (dd^c\phi_e)^n/n!$、正規化されたBergman測度 $k^{-n} B_k \omega_n$、$k$ 階Bergman体積形式 $(dd^c(k^{-1}\log K_k(x,x)))^n/n!$。
• 局所的ホロモルフィックモース理論と重み付き $L^2$ 評価を用いて、Bergman核 $K_k(x,y)$ 及び $k \to \infty$ における漸近挙動を分析する。
• 対数座標において、Bergman関数 $B_k(x) = K_k(x,x)e^{-k\phi}$ が $1_D(x) \cdot \left(\frac{2}{\pi}\right)^n \frac{\det(\partial^2\phi / \partial v_i \partial v_j)}{\det(\partial^2\phi_\Delta / \partial v_i \partial v_j)}$ に収束することを証明する。
• 凸包の理論を適用し、トーリックの場合に $\phi_e$ が $\phi$ の凸包であることを示し、これにより明示的な漸近挙動を導出する。
• 特異点上での測度をゼロに設定することで収束結果を拡張し、非正則的およびビッグな線束への適用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲率が全空間で正でない場合を含め、任意の滑らかなヘルミート計量を持つ一般の線束に対して、Bergman核漸近的性質はどのように振る舞うか？
• RQ2 大規模な $k$ の極限において、Bergman関数および $k$ 階Bergman体積形式の正確な極限測度は何か？
• RQ3 均衡計量 $\phi_e$ は元の計量 $\phi$ とどのように関係しているか？ また、どのような正則性を持つのか？
• RQ4 Bergman測度の収束は、集合 $D = \{\phi_e = \phi\}$ を用いて記述可能か？ また、これは $\phi$ のMonge-Ampère測度とどのように関係するか？
• RQ5 拡張された基本被覆は、$\phi_e$ の特異点および $B_k$ の漸近挙動に果たす役割は何か？

主な発見

• 正規化されたBergman測度 $k^{-n} B_k \omega_n$ は、$k \to \infty$ のとき弱収束して $1_D (dd^c\phi)^n/n!$ に収束する。ここで $D = \{\phi_e = \phi\}$ である。
• $k$ 階Bergman体積形式 $(dd^c(k^{-1}\log K_k(x,x)))^n/n!$ も、大規模な $k$ の極限において弱収束して $1_D (dd^c\phi)^n/n!$ に収束する。
• 均衡計量 $\phi_e$ は、$L$ の拡張された基本被覆の補集合 $X \setminus \mathbb{B}_+(L)$ 上で $\mathcal{C}^{1,1}$ である。$L$ が正則的でない場合でも同様である。
• トーリックの場合、均衡計量 $\phi_e$ は対数座標における $\phi$ の凸包であり、Bergman関数の漸近挙動は、スケーリングされた多面体内の格子点の和として明示的に与えられる。
• $D$ の補集合における $B_k$ の指数的減衰率は $\sup_X (\phi_e - \phi)$ によって支配され、$\lim_{k\to\infty} \inf_X B_k^{1/k} = e^{-\sup_X (\phi_e - \phi)}$ が成り立つ。これはチエビシェフ定数およびアレクサンドル容量と関連する。
• ビッグで非正則的線束、例えば $\mathbb{P}^2$ の吹き上げ上での $L = \pi^*\mathcal{O}(1) \otimes [E]$ に対して、$\mathbb{B}_+(L)$ 上で $\phi_e \equiv -\infty$ である。これは、$\phi_e$ が拡張された基本被覆全体で特異的になり得ることを示している。