[論文レビュー] Bifurcation sets arising from non-integer base expansions

Pieter C. Allaart, Simon Baker+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非整数基数展開における分岐集合 𝔹 ⊂ (1, M+1] を特徴づけ、univoque 集合 𝒰_q の位相的エントロピー H(q) が不連続に変化する点を扱う。トランバーシャルティック技術を用いて、𝒰 ℓ𝔹 のハウスドルフ次元を計算し、それが 0 と 1 の間で厳密に存在することを示す。M=1 および M=2 の場合の正確な値は、特定の多項式の根を含む。

ABSTRACT

Given a positive integer $M$ and $q\in(1,M+1]$, let $\mathcal U_q$ be the set of $x\in[0, M/(q-1)]$ having a unique $q$-expansion: there exists a unique sequence $(x_i)=x_1x_2\ldots$ with each $x_i\in\{0,1,\ldots, M\}$ such that \[ x=\frac{x_1}{q}+\frac{x_2}{q^2}+\frac{x_3}{q^3}+\cdots. \] Denote by $\mathbf U_q$ the set of corresponding sequences of all points in $\mathcal U_q$. It is well-known that the function $H: q\mapsto h(\mathbf U_q)$ is a Devil's staircase, where $h(\mathbf U_q)$ denotes the topological entropy of $\mathbf U_q$. In this paper we {give several characterizations of} the bifurcation set \[ \mathcal B:=\{q\in(1,M+1]: H(p) e H(q) extrm{ for any }p e q\}. \] Note that $\mathcal B$ is contained in the set $\mathcal{U}^R$ of bases $q\in(1,M+1]$ such that $1\in\mathcal U_q$. By using a transversality technique we also calculate the Hausdorff dimension of the difference $\mathcal B\backslash\mathcal{U}^R$. Interestingly this quantity is always strictly between $0$ and $1$. When $M=1$ the Hausdorff dimension of $\mathcal B\backslash\mathcal{U}^R$ is $\frac{\log 2}{3\log λ^*}\approx 0.368699$, where $λ^*$ is the unique root in $(1, 2)$ of the equation $x^5-x^4-x^3-2x^2+x+1=0$.

研究の動機と目的

• univoque 集合 𝒰_q の位相的エントロピー H(q) がすべての p ≠ q に対して H(p) ≠ H(q) を満たす q ∈ (1, M+1] の集合である分岐集合 𝔹 = {q ∈ (1, M+1] : H(p) ≠ H(q) for all p ≠ q} を特徴づける。
• 1 が一意な q 展開を持つような基数 q の集合 𝒰 に対して、差集合 𝒰 ℓ𝔹 の構造を分析する。
• トランバーシャルティック技術および記号的力学系を用いて、𝒰 ℓ𝔹 のハウスドルフ次元を計算する。
• すべての M ≥ 1 に対して dim_H(𝒰 ℓ𝔹) ∈ (0,1) であることを確立し、M=1 および M=2 の正確な値を求める。
• (q_KL, M+1] におけるエントロピープレートウの構造が、𝒰 ℓ𝔹 への最大次元寄与を決定することを示す。

提案手法

• x ∈ [0, M/(q−1)] で q 展開が一意であるような x の集合を univoque 集合 𝒰_q と定義し、𝒰_q ⊂ I_q を満たす。
• 記号的 univoque 集合 𝒰_q = π_q^{-1}(𝒰_q) を定義し、エントロピー関数 H(q) = h(𝒰_q) を研究する。
• トランバーシャルティック技術を用いて、対称差集合 𝒰_p Δ 𝒰_q のハウスドルフ次元を推定する。
• H(q) が一定であるようなエントロピープレートウ [p_L, p_R] ⊂ (q_KL, M+1] を特徴づけ、p ≠ q のとき 𝒰_q ∧ 𝒰_p のハウスドルフ次元が 0 であることを示す。
• 周期 m および右端点 p_R を持つプレートウに対して、公式 dim_H(𝒰 ∩ [p_L, p_R]) = log 2 / (m log p_R) を適用する。
• dim_H(𝒰 ℓ𝔹) = sup over all entropy plateaus of dim_H(𝒰 ∩ [p_L, p_R]) であり、m および p_R に関して最適化を実行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相的エントロピー H(q) が不連続に変化する分岐集合 𝔹 は、どのように正確に特徴づけられるか？
• RQ2 集合 𝒰 ℓ𝔹 のハウスドルフ次元はどのように振る舞い、その値は何かに依存するか？
• RQ3 どのエントロピープレートウ [p_L, p_R] に対して dim_H(𝒰 ∩ [p_L, p_R]) が最大化されるか？
• RQ4 M=1 および M=2 の場合の dim_H(𝒰 ℓ𝔹) の正確な値は何か？また、それらはどのような代数的方程式に関連しているか？
• RQ5 すべての M ≥ 1 に対して、𝒰 ℓ𝔹 のハウスドルフ次元は 0 と 1 の間で厳密に存在するか？

主な発見

• すべての M ≥ 1 に対して、𝒰 ℓ𝔹 のハウスドルフ次元は 0 と 1 の間で厳密に存在する。
• M=1 の場合、dim_H(𝒰 ℓ𝔹) = log 2 / (3 log λ*) ≈ 0.368699 であり、λ* は x^5 - x^4 - x^3 - 2x^2 + x + 1 = 0 の (1,2) 内に唯一の根をもつ。
• M=2 の場合、dim_H(𝒰 ℓ𝔹) = log 2 / (2 log γ*) ≈ 0.339607 であり、γ* は x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 2x + 1 = 0 の (2,3) 内に唯一の根をもつ。
• M ≥ 3 の場合、dim_H(𝒰 ℓ𝔹) = log 2 / log q_*(M) であり、q_*(M) は周期 m=1 の左端のエントロピープレートウの右端点である。
• 𝒰 ℓ𝔹 への最大次元寄与は、最小の m および最大の p_R を持つエントロピープレートウから生じる。M=1 の場合、これは [λ_*, λ*] で m=3 のプレートウである。
• 集合 𝒰 ℓ𝔹 は非可算集合であり、𝒰 内でフル ハウスドルフ次元をもち、Lebesgue零集合である。