[論文レビュー] Binary Images of Z2Z4-Additive Cyclic Codes

Joaquim Borges, Steven T. Dougherty+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、奇数のβを持つℤ₂ℤ₄加法的巡回符号で、ネチャエフ＝グレイ写像による二進画像が線形二進符号であるものを特徴づけている。このような符号はℤ₂二重巡回符号を生成することを確立し、x^β−1の因数分解に関する代数的条件および𝔽₂[x]上でのgcd条件を用いて、その二進画像の明示的生成多項式を提供する。

ABSTRACT

A Z2Z4-additive code C is called cyclic if the set of coordinates can be partitioned into two subsets, the set of Z_2 and the set of Z_4 coordinates, such that any cyclic shift of the coordinates of both subsets leaves the code invariant. We study the binary images of Z2Z4-additive cyclic codes. We determine all Z2Z4-additive cyclic codes with odd beta whose Gray images are linear binary codes.

研究の動機と目的

• 奇数βを持つℤ₂ℤ₄加法的巡回符号で、二進グレイ画像が線形符号であるものをすべて特定すること。
• ℤ₂ℤ₄加法的巡回符号の二進画像が線形のまま保たれる構造的条件を同定すること。
• ネチャエフ＝グレイ写像による二進画像をℤ₂二重巡回符号として特徴づけること。
• 符号がℤ₂×ℤ₄上に持つ構造に基づいて、二進画像の明示的生成多項式を提供すること。
• 元の符号の生成多項式とその二進画像の生成多項式との間の関係を確立すること。

提案手法

• ℤ₂ℤ₄加法的巡回符号をℤ₂[x]/⟨x^α−1⟩ × ℤ₄[x]/⟨x^β−1⟩の部分モジュールとして表現する。
• ネチャエフ＝グレイ写像Ψを用いて、符号語をℤ₂^α × ℤ₄^βからℤ₂^{α+2β}に変換し、符号構造を保持する。
• 二進画像の線形性を保証するために、𝔽₂[x]における条件gcd( (f̃b)/gcd(b,ℓg̃), g̃⊗g̃ ) = 1を適用する。
• 二進画像の生成子を⟨(b|0), (ℓ′|f̃²h)⟩として導出する。ここでℓ′ ≡ pℓ mod b であり、pはp(fh+2f) = ψ⁻¹(f̃²h)を満たす。
• x^β−1 = fghの多項式因数分解（f, h はモニックで、g|f̃）を用いて符号構造を分析する。
• 文献[6]におけるℤ₂二重巡回符号の結果を活用し、線形である場合にΨ(𝒞)が二重巡回符号であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℤ₂ℤ₄加法的巡回符号の二進画像が線形であるのはどのような条件下か？
• RQ2 画像が線形である場合、その画像の生成子を明示的にどのように特定できるか？
• RQ3 ネチャエフ＝グレイ写像下での元のℤ₂ℤ₄符号の生成多項式とその二進画像の生成多項式との関係は何か？
• RQ4 なぜ標準グレイ写像よりもネチャエフ＝グレイ写像が、二進画像における巡回構造を保つために好まれるのか？
• RQ5 βの奇数性が、二進画像の線形性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• すべての奇数βを持つℤ₂ℤ₄加法的巡回符号で、グレイ画像が線形二進符号であるものは、𝔽₂[x]における条件gcd( (f̃b)/gcd(b,ℓg̃), g̃⊗g̃ ) = 1によって完全に特徴づけられる。
• ネチャエフ＝グレイ写像による二進画像は、長さα+2βのℤ₂二重巡回符号であり、⟨(b|0), (ℓ′|f̃²h)⟩によって生成される。
• 二進画像の生成子ℓ′は、ℓ′ ≡ pℓ mod b として得られ、ここでpはp(fh+2f) = ψ⁻¹(f̃²h)を満たす。
• 画像が線形であるのは、gcd条件が成り立つ場合に限る。この条件により、画像が加法に関して閉じていることが保証される。
• 例として、β=3、α=3、f=1、h=x²+x+1の場合、符号⟨(x²+x+1|0),(1|x²+x+3)⟩は長さ9の線形ℤ₂二重巡回符号に写像される。
• 本論文は、任意のκについて、タイプ(2,7;2,3;κ)のℤ₂ℤ₄加法的符号は線形グレイ画像を持たないことを証明している。これはgcd条件が満たされないためである。