[論文レビュー] Black-Hole Solutions to Einstein's Equations in the Presence of Matter and Modifications of Gravitation in Extra Dimensions

Blaise Goutéraux|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 253被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、一般相対性理論におけるブラックホール解について包括的なレビューを提供しており、シュワルツシルト解とライスナー＝ノルストロム解の計量、因果的構造、および『ブラックホール』という用語の歴史的発展に焦点を当てている。座標特異性を解消するための座標変換（エドントン＝フィンケルシュタイン座標、クルスクアル＝ゼーケレス座標）を詳述し、イベントホライズンとキリングホライズンの違いを示し、電荷を帯びたブラックホールとそのホライズン（極限状態および裸の特異点を含む）を分析している。主な貢献は、ブラックホール幾何学、ホライズン、および『魔法の円』から『ブラックホール』へという概念的転換を統一的かつ教育的に行うものである。

ABSTRACT

In this thesis, we wish to examine the black-hole solutions of modified gravity theories inspired by String Theory or Cosmology. Namely, these modifications will take the guise of additional gauge and scalar fields for the so-called Einstein-Maxwell-Dilaton theories with an exponential Liouville potential; and of extra spatial dimensions for Einstein-Gauss-Bonnet theories. The black-hole solutions of EMD theories as well as their integrability are reviewed. One of the main results is that a master equation is obtained in the case of planar horizon topology, which allows to completely integrate the problem for s special relationship between the couplings. We also classify existing solutions. We move on to the study of Gauss-Bonnet black holes, focusing on the six-dimensional case. It is found that the Gauss-Bonnet coupling exposes the Weyl tensor of the horizon to the dynamics, severely restricting the Einstein spaces admissible and effectively lifting some of the degeneracy on the horizon topology. We then turn to the study of the thermodynamic properties of black holes, in General Relativity as well as in EMD theories. For the latter, phase transitions may be found in the canonical ensemble, which resemble the phase transitions for Reissner-Nordström black holes. Generically, we find that the thermodynamic properties (stability, order of phase transitions) depend crucially on the values of the EMD coupling constants. Finally, we interpret our planar EMD solutions holographically as Infra-Red geometries through the AdS/CFT correspondence, taking into account various validity constraints. We also compute AC and DC conductivities as applications to Condensed Matter Systems, and find some properties characteristic of strange metal behaviour.

研究の動機と目的

• シュワルツシルト解の幾何学的・物理的解釈を明確にすること、特に r=2m 表面の性質とそれがイベントホライズンとして果たす役割。
• 初期の誤解を招く用語（『崩壊』や『魔法の円』）から、物理的理解が深まった結果としての現代的用語『ブラックホール』への移行を説明すること。
• クルスクアル＝ゼーケレス座標を用いた数学的構成により、ブラックホール時空の最大解析的拡張を提示し、r=2m を超えてでも計量が正則であることを示すこと。
• ライスナー＝ノルストロム解を用いて、質量-電荷比に基づく因果的構造の分類を行い、非極限状態、極限状態、裸の特異点のケースを区別すること。
• イベントホライズン（因果的構造によって定義）とキリングホライズン（等長性によって定義）の概念的違いを強調すること、特に極限状態ブラックホールにおける適用。

提案手法

• シュワルツシルト時空における r=2m での座標特異性を解消するため、エドントン＝フィンケルシュタイン座標 (u, v) を用い、そこでの計量が正則であることを示している。
• u と v の指数変換を経てクルスクアル＝ゼーケレス座標 (U, V) を適用し、r=0 を除いて正則な計量を持つ、最大の解析的解への時空の拡張を実現している。
• 径方向成分の簡略化と座標変換の促進を目的として、トーチョス座標 r* = r + 2m ln(r/2m - 1) を用いている。
• 無限大の時空構造（未来の光的無限大やイベントホライズンを含む）を有限の図に表現するため、共形写像技術（ペンローズ＝カーター図）を適用している。
• ライスナー＝ノルストロム解は、結合されたアインシュタイン＝マックスウェル方程式を解き、g_tt 要素の根からホライズンを同定している。
• 極限状態ブラックホール（m=|q|）に対してキリングホライズンの概念を導入し、計量の符号変化がないにもかかわらず、光的超曲面が未来の光的無限大の因果的過去を囲むことを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュワルツシルト時空における r=2m 表面の真の物理的性質は何か？ なぜ歴史的に特異点と誤解されたのか？
• RQ2 エドントン＝フィンケルシュタイン座標やクルスクアル＝ゼーケレス座標といった座標変換が、r=2m における見かけの特異性をどのように解消し、最大解析的拡張を明らかにするのか？
• RQ3 イベントホライズンとキリングホライズンの違いは何か？ そして、極限状態ライスナー＝ノルストロムブラックホールにその違いがどのように適用されるのか？
• RQ4 電荷を帯びたブラックホールがイベントホライズンを持つ条件は何か？ また、いつ裸の特異点に変わるのか？
• RQ5 用語の発展（『崩壊』から『ブラックホール』へ）は、一般相対性理論における物理的理解の発展をどのように反映し、影響を与えたのか？

主な発見

• シュワルツシルト解の r=2m 表面は物理的特異点ではなく、座標の誤差に起因するものである。Eddington-Finkelstein 座標および Kruskal-Szekeres 座標では計量が正則である。
• Kruskal-Szekeres 拡張により、ブラックホール領域（II）とホワイトホール領域（II'）を含む最大の時空が明らかになった。両領域は、因果的に分離された2つの漸近平坦領域（I と I'）を持つ。
• ライスナー＝ノルストロムブラックホールでは、m² > q² のとき2つのホライズンが存在する。外側ホライズンは r⁺ = m + √(m²−q²) にあり、内側ホライズンは r⁻ = m − √(m²−q²) にあり、それらの間の領域は時的である。
• m = |q| のとき、解は極限状態となり、1つの退化ホライズンを持つ。計量の符号変化はないが、ホライズンはキリングホライズンである。伝統的な意味でのイベントホライズンではない。
• m² < q² のとき、ホライズンは存在せず、解は裸の特異点を表す。これは宇宙 censorship 原理に反し、r=0 に曲率特異点を持つ。
• ライスナー＝ノルストロム時空におけるゲージ場は、無限大でゼロに設定できない。それはホライズンで発散を引き起こす。適切なゲージ選択により、Φ = 2q/r⁺ とすることで、AμAνg^μν の特異点を回避できる。