[論文レビュー] Blow-up criterion, ill-posedness and existence of strong solution for Korteweg system with infinite energy

Boris Haspot|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 29被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、初期密度に不連続性を許容することで、無限エネルギーを伴うKorteweg系に対して強い解の存在を確立した。具体的には、$\ln\rho_0 \in B^{\frac{N}{2}}_{2,\infty}(\mathbb{R}^N)$ の場合に該当する。新たな爆発基準を導入し、$\varepsilon > 0$ に対して $\frac{1}{\rho}$ を $L^\infty_T(\dot{B}^{0}_{N+\varepsilon,1})$ で制御することで、解の有限時刻における延長が可能であり、特定の状態では解の不適切性（ill-posedness）が示された。

ABSTRACT

This work is devoted to the study of the initial boundary value problem for a general isothermal model of capillary fluids derived by J.E Dunn and J.Serrin (1985), which can be used as a phase transition model. We will prove the existence of strong solutions in finite time with discontinuous initial density, more precisely $\lnρ_{0}$ is in $B^{\N}_{2,\infty}(\R^{N})$. Our analysis improves the results of \cite{fDD} and \cite{fH1}, \cite{fH2} by working in space of infinite energy. In passing our result allow to consider initial data with discontinuous interfaces, whereas in all the literature the results of existence of strong solutions consider always initial density that are continuous. More precisely we investigate the existence of strong solution for Korteweg's system when we authorize jump in the pressure across some hypersurface. We obtain also a result of ill-posedness for Korteweg system and we derive a new blow-up criterion which is the main result of this paper. More precisely we show that if we control the vacuum (i.e $\frac{1}ρ\in L^{\infty}_{T}(\dot{B}^{0}_{N+\e,1}(\R^{N}))$ with $\e>0$) then we can extend the strong solutions in finite time. It extends substantially previous results obtained for compressible equations.

研究の動機と目的

• 無限エネルギー空間における初期データ、特に $\\ln\rho_0 \in B^{\\frac{N}{2}}_{2,\\infty}(\mathbb{R}^N)$ の場合に、Korteweg系に対する強い解の存在を確立すること。
• 初期密度に不連続性を許容し、超曲面上での圧力ジャンプを扱えるようにし、従来の研究で要求されていた初期密度の連続性という制限を克服すること。
• $\varepsilon > 0$ に対して $\frac{1}{\rho}$ を $L^\infty_T(\dot{B}^{0}_{N+\varepsilon,1})$ で制御する基準に基づく新たな爆発基準を導出することにより、解の有限時刻における延長を可能にすること。
• 初期データの正則性に不足がある場合に、Korteweg系が不適切（ill-posed）であることを証明すること。

提案手法

• 臨界Besov空間 $\widetilde{L}^\infty_T(\dot{B}^{0}_{p,\infty})$ および $\widetilde{L}^\infty_T(\dot{B}^{1}_{p,\infty})$（$p = N + \frac{\varepsilon}{2}$）において解析を実施し、無限エネルギー初期データを許容する。
• 密度の対数勾配を制御するための推定式 $\|\nabla\ln\rho\|_{\widetilde{L}^\infty(\dot{B}^{0}_{p_2,\infty})} \leq C(1 + \|\frac{1}{\rho} - 1\|_{\widetilde{L}^\infty(\dot{B}^{0}_{N+\varepsilon,1})})\|\nabla\rho\|_{\widetilde{L}^\infty(B^{0}_{p,\infty})}$ を導出する。
• 速度と密度のダイナミクスを分離するために変換 $u = v - \frac{\kappa}{\mu}\nabla\ln\rho$ を用い、$u$ を $L^\infty_T(\dot{B}^{0}_{N+\frac{\varepsilon}{2},\infty})$ で制御する。
• 運動量方程式から事前エネルギー推定を導出し、$\Pi(\rho)$ とキャピラリ項 $\frac{\kappa(\rho)}{2}|\nabla\rho|^2$ を含む自由エネルギー関数を用いることで、初期エネルギーの制御下で有界性を保証する。
• $\frac{1}{\rho} \in L^\infty_T(\dot{B}^{0}_{N+\varepsilon,1})$ かつ $\varepsilon > 0$ ならば、強い解が任意の時刻 $T$ を超えて延長可能であることを示すことにより、爆発基準を確立する。
• 初期データが十分な正則性を持たない場合に、臨界空間における連続的依存性の失敗を分析することで、不適切性（ill-posedness）の結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期密度に不連続性がある、すなわち $\ln\rho_0 \in B^{\frac{N}{2}}_{2,\infty}(\mathbb{R}^N)$ の場合に、無限エネルギーの文脈でKorteweg系に対する強い解が存在しうるか？
• RQ2 有限時刻 $T$ を超えて強い解を延長するための、$\frac{1}{\rho}$ の最小正則性条件は何か？
• RQ3 超曲面上に圧力ジャンプが存在する場合、解の適切性と正則性にどのような影響を与えるか？
• RQ4 初期データが特定の臨界正則性条件を満たさない場合、Korteweg系が不適切（ill-posed）であるとはどのような意味か？
• RQ5 $\varepsilon > 0$ に対して $\frac{1}{\rho}$ を $\dot{B}^{0}_{N+\varepsilon,1}$ で可積分とする基準に依存する新たな爆発基準を導出可能か？

主な発見

• 本稿では、$\ln\rho_0 \in B^{\frac{N}{2}}_{2,\infty}(\mathbb{R}^N)$ であっても、臨界Besov空間においてKorteweg系に対する強い解の存在を証明した。これは、従来の研究が初期密度の連続性を要請していたのを拡張するものである。
• $\frac{1}{\rho} \in L^\infty_T(\dot{B}^{0}_{N+\varepsilon,1})$ かつ $\varepsilon > 0$ ならば、強い解は任意の時刻 $T$ を超えて延長可能であるという新たな爆発基準を確立した。これにより、有限時刻での存在が保証される。
• 解は $u \in L^\infty_T(\dot{B}^{0}_{N+\frac{\varepsilon}{2},\infty})$ および $\ln\rho \in L^\infty_T(\dot{B}^{1}_{N+\frac{\varepsilon}{2},\infty})$ を満たし、臨界空間における正則性が確認された。
• $\rho^{1/p}v \in L^\infty_T(L^p)$（すべての $1 \leq p < \infty$）が成り立つことから、速度が $L^p$ 型ノルムで有界で、可積分性が示された。
• 初期データが必要な臨界正則性を満たさない場合、Korteweg系が不適切（ill-posed）であることを証明した。これは、$\frac{1}{\rho}$ の制御条件の必要性を強調している。
• $\kappa(\rho) = \frac{\kappa}{\rho}$ のとき、キャピラリ項を $\mathrm{div}K = \kappa \, \mathrm{div}(\rho \nabla\nabla\ln\rho)$ と書き直すことで、系のダイナミクスに対する新たな構造的洞察が得られた。