[論文レビュー] Blow-up of the radially symmetric solutions for the quadratic nonlinear Schrödinger system without mass-resonance

Takahisa Inui, Nobu Kishimoto+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、質量共鳴条件 $\kappa=1/2$ が成立しない場合の5次元および6次元における二次非線形シュレーディンガー系の回転対称解について、有限時間 blow-up を確立する。バーリア型恒等式と変分的議論を用いて、負のエネルギーおよび負のポホジャエフ汎関数の下で、解は有限時間内に blow-up することを証明し、質量共鳴領域を超えて既知の結果を拡張する。

ABSTRACT

We consider the quadratic nonlinear Schrödinger system \begin{align*} \begin{cases} i\partial_t u +Δu =v \overline{u},\\ i\partial_t v +κΔv =u^2, \end{cases} ext{ on } I imes \mathbb{R}^d, \end{align*} where $1\leq d \leq 6$ and $κ>0$. In the lower dimensional case $d=1,2,3$, it is known that the $H^1$-solution is global in time. On the other hand, there are finite time blow-up solutions when $d=4,5,6$ and $κ=1/2$. The condition of $κ=1/2$ is called mass-resonance. In this paper, we prove finite time blow-up under radially symmetric assumption when $d=5,6$ and $κ eq 1/2$ and we show blow-up or grow-up when $d=4$.

研究の動機と目的

• 二次非線形シュレーディンガー系の回転対称解の blow-up 動態を、$\kappa \neq 1/2$ の場合、特に $L^2$-超臨界的領域 $d=5,6$ において調査すること。
• 従来、質量共鳴の場合（$\kappa=1/2$）に限られていた blow-up 結果を、非共鳴領域に拡張すること。
• $d=4$ の場合に、質量共鳴がなくてもエネルギーおよびポホジャエフ汎関数の条件の下で、blow-up または grow-up の基準を確立すること。
• $\kappa \neq 1/2$ の場合に生じるバーリア恒等式における追加の物理的でない項の課題を克服すること。この項は、標準的な blow-up 議論を破壊する。

提案手法

• 勾配の $L^2$-ノルムの時間発展を追跡するために、ポホジャエフ汎関数 $K(u,v)$ を含む修正されたバーリア恒等式を導出する。
• 切り捨て関数 $\chi_R(x)$ を用いて解の重み付き $L^2$-ノルムを定義し、バーリア量を局所化し、誤差項を制御する。
• エネルギーおよび質量保存則を用いてバーリア量の成長を束縛し、微分不等式を導出する。
• 変分的議論を用いて、$d=4$ の $L^2$-臨界および $d=5$ の $\dot{H}^{1/2}$-臨界の場合の基底状態を特徴づけ、鋭い不等式を確立する。
• 解の振る舞いを制御し、バーリア量の時間的正値性を保証するために、回転対称性を仮定する。
• グローバル存在と勾配の有界性を仮定する背理法を適用し、時間経過とともにバーリア量が無限大に発散することを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 質量共鳴でない場合（$\kappa \neq 1/2$）の5次元および6次元における二次NLS系の回転対称解について、有限時間 blow-up を証明できるか？
• RQ2 質量共鳴が成り立たない場合、$d=4$ の $L^2$-臨界系において解のダイナミクスはどのように変化するか？
• RQ3 質量共鳴の欠如がバーリア恒等式および blow-up の可能性に与える影響は何か？
• RQ4 非共鳴領域において、ポホジャエフ汎関数 $K(u,v)$ を用いて blow-up を特徴づけられるか？
• RQ5 $E(u_0,v_0)M(u_0,v_0) < E(\phi,\psi)M(\phi,\psi)$ および $K(u_0,v_0)<0$ に基づく blow-up 基準を $\kappa \neq 1/2$ に拡張できるか？

主な発見

• $d=5,6$ および $\kappa \neq 1/2$ の場合、$E(u_0,v_0)M(u_0,v_0) < E(\phi,\psi)M(\phi,\psi)$ かつ $K(u_0,v_0) < 0$ を満たす回転対称解は有限時間 blow-up を示す。これは、非共鳴領域への既存結果の拡張である。
• $L^2$-臨界系 $d=4$ の場合、$E(u_0,v_0)M(u_0,v_0) < E(\phi,\psi)M(\phi,\psi)$ かつ $K(u_0,v_0) < 0$ の下で、質量共鳴がなくても解は blow-up または grow-up 動態を示すことが確立された。
• 非共鳴項 $\kappa \neq 1/2$ を反映するようにバーリア恒等式が修正され、その結果生じる誤差項は、回転対称性と切り捨て関数を用いて制御された。
• グローバル存在と勾配の有界性を仮定する背理法により、バーリア量が時間とともに無限大に発散することが導かれ、これは有限時間 blow-up を意味する。
• 基底状態 $(\phi,\psi)$ は変分的手法により特徴づけられ、エネルギーと質量を基底状態値に関連付ける鋭いガガリアルド＝ニレングラの不等式が用いられた。
• 証明は、バーリア量 $J(t)$ の正値性と微分不等式 $A \xi(t)^2 \leq \xi'(t)$ に依存しており、解がグローバルに存在するならば $t \to \infty$ で矛盾が生じる。