[論文レビュー] Blowup of $H^1$ solutions for a class of the focusing inhomogeneous nonlinear Schrödinger equation

Van Duong Dinh|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$0 < b < \min\{2,d\}$ および $\alpha_{\star} \leq \alpha < \alpha^{\star}$ の条件下で、重力的非線形性を有する不均一な非線形シュレーディンガー方程式の $H^1$ 解について、バーリング恒等式とガリャルド・ニレングラート不等式を用いて、有限時刻 blowup を確立する。質量臨界的状況（$\alpha = \alpha_{\star}$）において、負のエネルギー初期データに対して、径対称性または $L^2$-重み付き条件のもとで blowup を証明し、また、ファラの地面状態より下の blowup 結果を、$L^2(|x|^2dx)$ 可積分性を要しない $H^1$ 初期データに対しても径対称性のもとで拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we consider a class of the focusing inhomogeneous nonlinear Schrödinger equation \[ i\partial_t u + Δu + |x|^{-b} |u|^αu = 0, \quad u(0)=u_0 \in H^1(\mathbb{R}^d), \] with $0<b></b>

研究の動機と目的

• 質量臨界的および中間的（intercritical）な領域における、重力的非線形性を有する不均一な非線形シュレーディンガー方程式の $H^1$ 解について、有限時刻 blowup を確立すること。
• 従来の径対称初期データに対する blowup 結果を、バーリング空間 $H^1 \cap L^2(|x|^2dx)$ を超えて拡張すること、特に地面状態より下の状況において。
• エネルギー、質量、およびガリャルド・ニレングラート不等式が、$|x|^{-b}$ 構造を有する不均一な非線形性における blowup 動的を決定づける役割を分析すること。
• 負のエネルギーまたは地面状態より下の質量エネルギープロファイルを有する解が有限時刻に blowup するための鋭い条件を提示すること。

提案手法

• 解の重み付き $L^2$-ノルムの2階微分を制御するため、バーリング恒等式と精密な推定を用いる。
• 地面状態解 $Q$ に関連する鋭い定数を有するガリャルド・ニレングラート不等式を適用し、解のノルムと $Q$ のノルムを比較する。
• ポホジャエフ恒等式を用いて、地面状態のエネルギーと質量を、その $L^2$ および $H^1$ ノルムに関連付ける。
• 非径対称または $L^2(|x|^2dx)$ 初期データでない場合に対応するため、切断関数 $\varphi_R$ を用いた局所化バーリング汎関数 $V_{\varphi_R}(t)$ を導入する。
• 解のノルム比 $\|\nabla u\|_{L^2}\|u\|_{L^2}^{\sigma}/\|\nabla Q\|_{L^2}\|Q\|_{L^2}^{\sigma}$ に基づく連続性の議論を実施し、それが1から離れて保たれることを示す。
• 質量とエネルギーの保存則を用いて、改良されたバーリング推定を導出し、分散の負の加速度を示し、これにより blowup を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 質量臨界的状況 $\alpha = \alpha_{\star}$ において、$H^1$ 解が有限時刻に blowup する条件は何か？
• RQ2 $xu_0 \in L^2$ を要件としないで、中間的領域 $\alpha_{\star} < \alpha < \alpha^{\star}$ における径対称の負のエネルギー初期データに対し、blowup を証明できるか？
• RQ3 $u_0 \notin L^2(|x|^2dx)$ であっても、中間的領域における径対称 $H^1$ 初期データに対して、地面状態より下の blowup は成立するか？
• RQ4 不均一項 $|x|^{-b}$ は、標準的 NLS 方程式と比較して、blowup 動的をどのように変化させるか？
• RQ5 1次元において、非径対称で負のエネルギーを持つ初期データに対し、バーリング法をどのように変更して blowup を証明できるか？

主な発見

• 質量臨界的状況 $\alpha = \alpha_{\star}$ において、負のエネルギーを有する $H^1$ 初期データは、$xu_0 \in L^2$ であるか、または $u_0$ が径対称で $d \geq 2$ である限り、有限時刻 blowup を示す。
• 1次元において、負のエネルギーを有する任意の $H^1$ 初期データは、径対称性がなくても有限時刻 blowup を示す。
• 中間的領域 $\alpha_{\star} < \alpha < \alpha^{\star}$ において、$d \geq 2$ で負のエネルギーを有する径対称初期データは、有限時刻 blowup を示す。
• 本稿は、ファラの地面状態より下の blowup 結果を、$H^1 \cap L^2(|x|^2dx)$ に属する必要がない $H^1$ 初期データにまで拡張する。ただし、初期データが径対称であることが条件である。
• 精密なバーリング推定により、与えられた条件下で $\frac{d^2}{dt^2}\|xu(t)\|_{L^2}^2 \leq -c < 0$ が成り立つことが示され、これにより有限時刻 blowup が保証される。
• 証明は、比 $\|\nabla u(t)\|_{L^2}\|u(t)\|_{L^2}^{\sigma}/\|\nabla Q\|_{L^2}\|Q\|_{L^2}^{\sigma}$ が1から離れて保たれることを示す連続性の議論に依拠しており、不安定性が保証される。