[論文レビュー] Bombieri-Vinogradov for multiplicative functions, and beyond the $x^{1/2}$-barrier

Andrew Granville, Xuancheng Shao|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$ |f(n)| \leq 1 $ を満たす乗法的関数 $ f $ に対して、$ 1 $-Siegel-Walfisz 条件のもとで、$ q \leq x^{20/39 - \delta} $ の範囲までモジュラスの範囲を拡張した Bombieri-Vinogradov 型定理を確立する。このような平均の誤差項が $ \ll x / (\log x)^{1 - \varepsilon} $ で抑えられることを示し、例外的ディリクレ指標を考慮しても、このオーダーに達する例を構成することで、この境界がほぼ最良であることを証明する。

ABSTRACT

Part-and-parcel of the study of "multiplicative number theory" is the study of the distribution of multiplicative functions in arithmetic progressions. Although appropriate analogies to the Bombieri-Vingradov Theorem have been proved for particular examples of multiplicative functions, there has not previously been headway on a general theory; seemingly none of the different proofs of the Bombieri-Vingradov Theorem for primes adapt well to this situation. In this article we find out why such a result has been so elusive, and discover what can be proved along these lines and develop some limitations. For a fixed residue class $a$ we extend such averages out to moduli $\leq x^{\frac {20}{39}-δ}$.

研究の動機と目的

• 乗法的関数 $ f $ に対して、$ |f(n)| \leq 1 $ を満たす一般化された Bombieri-Vinogradov 型定理を、古典的な $ x^{1/2} $-バrier を超えて開発すること。
• 関数 $ f $ が小さな導手のディリクレ指標と強く相関する場合、このような定理の限界を特定すること。
• Siegel-Walfisz 条件が成り立たない場合を含め、乗法的関数に対する Bombieri-Vinogradov 框組みにおける最良の誤差項を同定すること。
• Gowers $ U^k $-ノルムを用いた高階の分布的性質の探求を行い、それらを等差数列における平均的分布と関連付けること。

提案手法

• 乗法的関数 $ f \in \mathcal{C} $ に対して、一般化された Bombieri-Vinogradov 平均 $ \sum_{q \sim Q} \max_{(a,q)=1} |\Delta(f,x;q,a)| $ を導入する。ここで $ \mathcal{C} $ は $ |\Lambda_f(n)| \leq \Lambda(n) $ を満たす乗法的関数の族である。
• $ 1 $-Siegel-Walfisz 条件を用いて、$ f $ が低導手の指標と強く相関しない場合の誤差項を制御する。
• 例外的指標 $ \psi $ に対して、$ |S_f(x,\psi)| $ が大きい場合の分解を導入し、その寄与を $ \sigma_f(x,\psi) = \sup_{x^{1/2} < X \leq x} |S_f(X,\psi)/X| $ を用いて評価する。
• ガウス和と指標の偏角の等分布性を用いた明示的例を構成することで、$ x / (\log x)^{1 - \varepsilon} $ の境界がほぼ最良であることを示す。
• Gowers $ U^k $-ノルムを用いて結果を高階の正規性へ一般化し、滑らかな台と強いキャンセルの仮定のもとで、ほとんどすべての $ q \leq Q $ に対して $ \|f(q\cdot + a)\|_{U^k(x/q)} \leq \varepsilon $ を示す。
• 加法的組合せ論の結果、特に Gowers ノルムの逆定理を活用し、ニルシーケンスとの相関と例外的モジュラスとの関係を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の乗法的関数 $ f $ に対して、$ |f(n)| \leq 1 $ を満たす場合、$ x^{1/2} $-バrier を超えて Bombieri-Vinogradov 型定理を確立できるか？
• RQ2 このような定理における最良の誤差項は何か？ また、$ f $ が小さな導手のディリクレ指標と相関する場合にどのように依存するか？
• RQ3 $ f $ が von Mangoldt 関数や Möbius 関数でない一般の乗法的関数である場合、古典的な Bombieri-Vinogradov 方法をどの程度適応できるか？
• RQ4 高階の Gowers ノルムは、等差数列における乗法的関数の分布とどのように関連するか？
• RQ5 $ \ll x / (\log x)^{1 - \varepsilon} $ の境界が、$ \varepsilon $-要因を除いても鋭いか？

主な発見

• 本稿は、$ 1 $-Siegel-Walfisz 条件を満たす乗法的関数 $ f \in \mathcal{C} $ に対して、$ q \leq x^{20/39 - \delta} $ の範囲で Bombieri-Vinogradov 型の境界を確立し、古典的な $ x^{1/2} $-バリアを超える。
• 誤差項は $ \ll x / (\log x)^{1 - \varepsilon} $ で抑えられ、このオーダーに達する例を構成することで、これがほぼ最良であることが示された。
• 任意の固定された $ k $ に対して、$ Q = x^{1/2} / (y^{1/2} (\log x)^A) $ に対して、ほとんどすべての $ q \leq Q $ に対して、$ f(q\cdot + a) $ の Gowers $ U^k $-ノルムが $ \leq \varepsilon $ であることを示した。ただし、$ f $ は $ y $-スムーズ数に台を持つとし、強いキャンセルを満たすものとする。
• 著者らは、$ x / (\log x)^{1 - \varepsilon} $ の境界が $ \varepsilon $-要因を除いて最良であることを示すために、$ \sum_{q \sim Q} \max_a |\Delta(f,x;q,a)| \gg x / (\log x)^{1 - \varepsilon'} $ を満たす $ \mathcal{C} $ に属する関数 $ f $ を構成した。ここで $ \varepsilon' \sim 2 / \sqrt{3k} $ である。
• 関数 $ f $ が多くの原始的指標 $ \psi \pmod{q} $ と相関する場合、$ 1 - \text{Re}(g(\psi)) > 1 - 1/(2\sqrt{q}) $ を満たすような $ \psi $ の数は $ \sim q/3 $ に達し、これにより $ S_f(x,\psi) $ が大きく、Bombieri-Vinogradov 界の強度が制限されることを示した。
• Gowers ノルムを用いた高階正規性への拡張により、$ 1 $-Siegel-Walfisz 条件と滑らかな台の下で、$ q \leq x^{1/2 - o(1)} $ の平均的観点から $ \|f(q\cdot + a)\|_{U^k(x/q)} \to 0 $ となることを示した。