[論文レビュー] Boosting an analogue of Jordan's theorem for finite groups

Ignasi Mundet i Riera, Alexandre Turull|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2013

Finite Group Theory Research参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、部分群について閉じたクラスに属する有限群におけるアーベル部分群の指数の均一な上限を確立する。そのために、素因数が高々2つのみの群に対してその上限が存在する場合、CFSG（有限単純群の分類定理）を用いて、その上限がクラス全体に均一に拡張されることを示す。これにより、固定された生成数を持つグローバルなジョルダン型の上限が得られる。

ABSTRACT

Let $\mathcal C$ be a set of finite groups which is closed under taking subgroups and let $d$ and $M$ be positive integers. Suppose that for any $G\in\mathcal C$ whose order is divisible by at most two distinct primes there exists an abelian subgroup $A\subseteq G$ such that $A$ is generated by at most $d$ elements and $[G : A] \le M$. We prove that there exists a positive constant $C_0$ such that any $G \in \mathcal C$ has an abelian subgroup $A$ satisfying $[G : A] \le C_0$, and $A$ can be generated by at most $d$ elements. We also prove some related results. Our proofs use the Classification of Finite Simple Groups.

研究の動機と目的

• 部分群について閉じたクラスに属する有限群におけるアーベル部分群の指数の均一な上限を確立すること。
• 素因数が高々2つのみの群に対して有効な局所的な境界を、クラス全体に拡張してグローバルな境界を得ること。
• 2素因数群に対してそのような境界が存在するならば、そのクラスのすべての群に対して、固定された生成数を持つ均一な境界が成立することを証明すること。
• 有限単純群の分類定理（CFSG）を用いて、クラスに属する群の構造を制御し、合成因子および準単純群の有限性条件を導出すること。

提案手法

• 有限群のクラス $\mathcal{C}$ が部分群について閉じており、かつ $\mathcal{C}$ に属する、素因数が高々2つのみの群に対して、アーベル部分群が指数 $\leq M$ で、かつ $\leq d$ 個の元で生成されることを仮定する。
• 群の構造を層 $E(G)$ と中心化群 $C_G(E(G))$ を用いて分解し、中心積として可解部分と分解する。
• 補題 3.3 を用いて、層の中心化群におけるアーベル部分群の指数を、可解の場合と補題 3.4 を用いて評価する。
• フロベニウス群の議論と補完群の位数に関する境界を用いて、非アーベル合成因子の集合が有限であることを示す。
• シュール表現群を用いて、$\mathcal{C}$ に属する準単純群の位数を評価し、そのような単純群の集合が有限であることを利用する。
• 層のサイズに関する境界 $C_5$ と中心化群内の指数に関する境界 $C_2$ を組み合わせ、グローバルな境界 $C_0 = C_5! \cdot C_2$ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分群について閉じた有限群のクラスに対して、素因数が高々2つのみの群の指数に関する境界が既知であるならば、そのクラス全体にわたってアーベル部分群の指数の均一な上限を確立できるか？
• RQ2 そのような均一な上限を保証するための、群のクラスに関する構造的制約は何か？ また、それらは有限単純群の分類定理（CFSG）とどのように関係するか？
• RQ3 2素因数群のケースで生成数が均一に制限されているならば、グローバルに見たアーベル部分群の生成数はどのように振る舞うか？
• RQ4 与えられた仮定のもとで、層 $E(G)$ の非可換合成因子の集合が有限であると保証できるか？
• RQ5 初期パrameter $d$ と $M$ を用いて、アーベル部分群の指数に関する有効な境界 $C_0$ はどのように表されるか？

主な発見

• 任意の $G \in \mathcal{C}$ に対して、指数 $[G:A] \leq C_0$ かつ $A$ が高々 $d$ 個の元で生成されるアーベル部分群 $A$ が存在するような正の定数 $C_0$ が存在する。
• 定数 $C_0$ は $C_5! \cdot C_2$ で明示的に上界が与えられ、ここで $C_5$ は $|E(G)|$ の上限、$C_2$ は層の中心化群内の指数の上限を表す。
• $E(G)/Z(E(G))$ の非アーベル合成因子の集合は有限であり、そのサイズは高々 $d + M$ である。これは2生成元のアーベル部分群のケースにおけるアーベル部分群の境界に起因する。
• $\mathcal{C}$ に属する準単純群の集合は有限であり、その位数は $C_3$ で一様に上界が与えられる。$C_3$ は有限個の単純群のシュール表現群から導かれる。
• $E(G)/Z(E(G))$ の合成因子の個数は $d + M$ で上界が与えられる。これは、$n$ 個の元で生成されるアーベル2部分群が、$C_2$ より大きな位数のフロベニウス群を剰余群として持てないという事実に起因する。
• 証明は、関連する単純群の集合の有限性を保証し、$\mathcal{C}$ に属する準単純群および可解群の構造を制御するため、有限単純群の分類定理（CFSG）に強く依存している。