[論文レビュー] Bordered Floer homology for sutured manifolds

Rumen Zarev|ArXiv.org|Aug 7, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 42

ひとこと要約

本稿は、sutured 3-多様体とbordered 3-多様体の両方を一般化する枠組みとして、bordere d sutured 多様体を導入し、bordered Floer homology を拡張してこれらの対象の不変量を定義する。この枠組みにより、装飾されたsutured コボルディズム圏から $\mathcal{A}_{\infty}$-代数およびbimodule へのファンクターを構成し、$\text{SFH}(Y,\Gamma)$ を $\widehat{\text{CFA}}(Y)$ または $\widehat{\text{CFD}}(Y)$ から回復可能であることを示す。さらに、Juhász の表面分解公式の新しい証明も得られる。

ABSTRACT

We define a sutured cobordism category of surfaces with boundary and 3-manifolds with corners. In this category a sutured 3-manifold is regarded as a morphism from the empty surface to itself. In the process we define a new class of geometric objects, called bordered sutured manifolds, that generalize both sutured 3-manifolds and bordered 3-manifolds. We extend the definition of bordered Floer homology to these objects, giving a functor from a decorated version of the sutured category to A-infinity algebras, and A-infinity bimodules. As an application we give a way to recover the sutured homology SFH(Y,Gamma) of a sutured manifold from either of the bordered invariants CFA(Y) and CFD(Y) of its underlying manifold Y. A further application is a new proof of the surface decomposition formula of Juhasz.

研究の動機と目的

• sutured Floer homology と bordered Floer homology を、共通の一般化を導入することによって統一すること。
• sutured および bordered 3-多様体の両方を一般化する、新しい幾何的対象のクラス—bordere d sutured 多様体—を定義すること。
• 装飾されたsutured コボルディズム圏から $\mathcal{A}_{\infty}$-代数およびbimodule へのファンクターを構成すること。
• sutured Floer homology $\text{SFH}(Y,\Gamma)$ が、$\widehat{\text{CFA}}(Y)$ または $\widehat{\text{CFD}}(Y)$ から回復可能であることを示すこと。
• Juhász の表面分解公式を、新しい枠組みを用いて再証明すること。

提案手法

• 境界を持つ曲面および角を持つ3-多様体のsutured コボルディズム圏を定義し、sutured 多様体は空の曲面から自身への射として扱う。
• sutured および bordered 3-多様体の両方を一般化する、bordere d sutured 多様体を導入し、境界のパラメトライゼーションおよびsuture を組み込む。
• bordered Floer homology を拡張し、bordere d sutured 多様体に $\mathcal{A}_{\infty}$-モジュール ($\widehat{\text{CFA}}$) および $\mathcal{A}_{\infty}$-bimodule ($\widehat{\text{BSDA}}$) を割り当てる。
• よいHeegaard 図とホロモーフィック曲線のモジュライ空間を用いて不変量を定義し、Reeb チョークおよびspin^c 構造に基づく次数構造を導入する。
• $\mathcal{A}_{\infty}$-bimodule のペアリング定理を適用し、接続された多様体の不変量とその成分の不変量との関係を明らかにする。
• 表面分解公式を示すために、分解された多様体の $\widehat{\text{BSD}}$ 不変量が、分解面 $S$ に対して外向きのspin^c 構造の $\widehat{\text{BSD}}$ 不変量の直和と同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同じ3-多様体のbordered Floer 不変量から、sutured Floer homology を回復できるか？
• RQ2 bordered Floer homology を境界にsuture 構造を含めるように拡張できるか？
• RQ3 3-多様体の $\widehat{\text{CFA}}$ および $\widehat{\text{CFD}}$ 不変量とそのsutured Floer homology の関係は何か？
• RQ4 統一されたbordered-sutured 框組みを用いて、Juhász の表面分解公式を再導出できるか？
• RQ5 bordere d sutured 多様体の $\mathcal{A}_{\infty}$-bimodule 不変量の構造は何か？また、接続操作に対してどのように振る舞うか？

主な発見

• 境界が連結な3-多様体のsutured Floer homology $\text{SFH}(Y,\Gamma)$ は、$\widehat{\text{CFA}}(Y)$ または $\widehat{\text{CFD}}(Y)$ から回復可能であり、bordered と sutured Floer homology の間の橋渡しを確立する。
• bordere d sutured 多様体 $Y$ の $\widehat{\text{BSD}}$ 不変量は、分解面 $S$ に対して外向きのすべてのspin^c 構造における $\widehat{\text{BSD}}$ 不変量の直和と同型である。
• 分解された多様体の $\widehat{\text{BSA}}$ 不変量は、$S$ に対して外向きのすべてのspin^c 構造における $\widehat{\text{BSA}}$ 不変量の直和と同型である。
• 新しい枠組みにより、bimodule ペアリングとよい図におけるホロモーフィック曲線の構造を用いて、Juhász の表面分解公式の新しい証明が得られる。
• 特定のsuture 構造を備えた積多様体 $P = F \times [0,1]$ の $\widehat{\text{BSD}}$ 不変量は、自明な微分をもつ唯一の生成子を持ち、上部のspin^c 構造におけるトーラス $T$ の $\widehat{\text{BSD}}$ 不変量と同型である。
• $\mathcal{A}_{\infty}$-bimodule のペアリング定理により、接続された多様体のsutured Floer homology は、対応する不変量のテンソル積のホモロジーと同型であることが保証される。