[论文解读] Boundary conditions and anomalies of conformal field theories in 1+1 dimensions

Linhao Li, Chang-Tse Hsieh+2 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2022

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 79被引用 5

一句话总结

本文通过分析通过重整化群流诱导边界条件的对称性禁闭势，建立了1+1维共形场论（CFT）中共形不变边界条件与反常之间的对应关系。结果表明，对称边界态的存在意味着对称性无反常，而配分函数中的简并则表明存在反常，从而为自由紧致玻色子、WZW模型和极小模型提供了系统化的无反常条件判定方法。

ABSTRACT

We study a relationship between conformally invariant boundary conditions and anomalies of conformal field theories (CFTs) in 1+1 dimensions. For a given CFT with a global symmetry, we consider symmetric gapping potentials which are relevant perturbations to the CFT. If a gapping potential is introduced only in a subregion of the system, it provides a certain boundary condition to the CFT. From this equivalence, if there exists a Cardy boundary state which is invariant under a symmetry, then the CFT can be gapped with a unique ground state by adding the corresponding gapping potential. This means that the symmetry of the CFT is anomaly free. Using this approach, we systematically deduce the anomaly-free conditions for various types of CFTs with several different symmetries. They include the free compact boson theory, Wess-Zumino-Witten models, and unitary minimal models. When the symmetry of the CFT is anomalous, it implies a Lieb-Schultz-Mattis type ingappability of the system. Our results are consistent with, where available, known results in the literature. Moreover, we extend the discussion to other symmetries including spin groups and generalized time-reversal symmetries.

研究动机与目标

• 建立1+1D共形场论中共形不变边界条件与反常之间的联系。
• 通过分析对称边界态的存在性，确定CFT中全局对称性无反常的条件。
• 为自由紧致玻色子、WZW模型和极小模型等各类CFT提供系统化的方法以识别无反常对称性。
• 将分析扩展至广义对称性，如自旋群和时间反演对称性。
• 证明在对称微扰下无法实现唯一能隙基态，表明存在反常，且与体SPT相位障碍一致。

提出的方法

• 引入仅在有限区段外作用的空间依赖相关微扰（禁闭势），在界面处诱导共形边界条件。
• 利用重整化群流识别边界CFT（BCFT）中对应于共形边界条件的固定点。
• 将能隙相中基态的唯一性与配分函数中单位算符的简并度联系起来，要求其恰好出现一次。
• 建立唯一基态与全局对称性下不变的对称边界态存在的对应关系。
• 应用CFT中边界态的已知构造方法（例如SU(2)₁ WZW模型）系统检查对称性不变性并检测反常。
• 利用BCFT框架分析广义对称性（包括T-对偶性和时间反演对称性）下的反常，超越标准禁闭势的限制。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有全局对称性的1+1D CFT可被对称地能隙化并具有唯一基态？
• RQ2 在BCFT中对称边界态的存在如何与原始CFT的反常状态相关？
• RQ3 在各种全局对称性下，自由紧致玻色子理论、WZW模型和幺正极小模型的无反常条件是什么？
• RQ4 如何利用边界态方法分析自旋群和时间反演对称性等广义对称性的反常？
• RQ5 为何在对称边界条件下配分函数的简并意味着反常和不可能能隙化？

主要发现

• 在BCFT中存在对称边界态，意味着对应的CFT可被对称地能隙化并具有唯一基态，表明该对称性无反常。
• 对于SU(2)₁ WZW模型，边界态方法识别出了超越标准Haldane零势的对称禁闭势，证实了在T-对偶性下行为无反常。
• 该方法检测到WZW模型中时间反演对称性下的反常，表明此类对称性导致简并基态，因而为反常。
• 分析结果确认，具有反常全局对称性的CFT无法在保持对称性的同时被一致地能隙化为唯一基态，与体SPT相位障碍一致。
• 在L→0极限下，配分函数中单位算符的简并度直接度量基态简并度，简并度为1表示唯一基态。
• 该方法系统地重现了极小模型和自由紧致玻色子已知的反常条件，验证了其通用性与文献的一致性。