[論文レビュー] Bounds for Small-Error and Zero-Error Quantum Algorithms

Harry Buhrman, Richard Cleve+2 more|ArXiv.org|Apr 26, 1999

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 35被引用数 32

ひとこと要約

この論文は、小誤差およびゼロ誤差の量子探索アルゴリズムに対してタイトな境界を確立し、高精度な結果を得る際には量子アンプリフィケーションが古典的手法を上回れないことを示している。単調関数およびグラフ性質において多項式的量子-古典的分離を示し、量子コンピュータにおいては包摂性予想が成り立たないことを示しており、主な結果として、スター性質の量子ゼロ誤差複雑度が $\Omega(n^{3/2})$ であり、『少なくとも1本の辺を含む』性質の有界誤差複雑度が $O(n)$ であることを示している。

ABSTRACT

We present a number of results related to quantum algorithms with small error probability and quantum algorithms that are zero-error. First, we give a tight analysis of the trade-offs between the number of queries of quantum search algorithms, their error probability, the size of the search space, and the number of solutions in this space. Using this, we deduce new lower and upper bounds for quantum versions of amplification problems. Next, we establish nearly optimal quantum-classical separations for the query complexity of monotone functions in the zero-error model (where our quantum zero-error model is defined so as to be robust when the quantum gates are noisy). Also, we present a communication complexity problem related to a total function for which there is a quantum-classical communication complexity gap in the zero-error model. Finally, we prove separations for monotone graph properties in the zero-error and other error models which imply that the evasiveness conjecture for such properties does not hold for quantum computers.

研究の動機と目的

• 量子探索アルゴリズムにおけるクエリ回数、誤差確率、探索空間のサイズ、解の数の間のトレードオフを分析すること。
• 量子アルゴリズムが小誤差確率的アルゴリズムを $(0,q)$ から $(0,1-\varepsilon)$ 精度にアンプリファイする際、古典的手法よりも効率的に行えるかどうかを特定すること。
• 単調関数およびグラフ性質のゼロ誤差量子クエリ複雑度を調査し、量子設定における包摂性予想の妥当性を評価すること。
• 単調関数およびグラフ性質について、ゼロ誤差および有界誤差モデルにおける古典的および量子クエリ複雑度の分離を確立すること。

提案手法

• 量子アンプリフィケーションの下界を証明するために、多項式法および先行研究からの適応を用いる。
• グローバーのアルゴリズムと正確な量子探索技術を適用して、$(0,q)$-アルゴリズムを $(0,1-\varepsilon)$-精度にアンプリファイする上界を構築する。
• ノイズのある量子ゲートに対しても安定性を保つ、強固なゼロ誤差量子モデルを定義する。
• 意思決定木および多項式次数の技術を用いて単調グラフ性質を分析し、特にブール関数を表す多重線形多項式の次数に着目する。
• 『スターを含む』や『少なくとも1本の辺を含む』といった性質に対して、明示的な量子アルゴリズムを構築し、複雑度のギャップを示す。
• 量子クエリアルゴリズムを多重線形多項式に変換して、クエリ複雑度の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子アルゴリズムは、$(0,q)$-アルゴリズムを $(0,1-\varepsilon)$-精度にアンプリファイする際に、古典的手法よりも効率的に行えるか？
• RQ2 単調関数におけるゼロ誤差量子アルゴリズムに必要な最適なクエリ回数は何か？ そして、古典的対応物と比較するとどうなるか？
• RQ3 すべての単調グラフ性質がすべての入力を照合する必要があるという包摂性予想は、量子設定でも成り立つか？
• RQ4 多項式次数の下界を用いて、グラフ性質のゼロ誤差量子クエリ複雑度に対して強い下界を証明できるか？
• RQ5 『スターを含む』および『少なくとも1本の辺を含む』グラフ性質における量子クエリ複雑度のタイトな境界は何か？

主な発見

• $(0,q)$-アルゴリズムを $(0,1-\varepsilon)$-精度にアンプリファイするのに必要なクエリ数は $\Theta\left(\sqrt{N}\left(\sqrt{\log(1/\varepsilon)+qN}-\sqrt{qN}\right)\right)$ であり、高精度アンプリフィケーションにおいては量子的利点がないことを示している。
• $q = 1/2$ の場合、誤差 $\varepsilon$ にアンプリファイするには $\Theta(\log(1/\varepsilon))$ クエリが必要であり、これは古典的性能と一致し、この領域では量子高速化が成立しないことを示している。
• 単調グラフ性質（スター性質）に対して $Q_0(P) \in O(n^{3/2})$ である一方、古典的ゼロ誤差複雑度は $\Omega(n^2)$ であるため、多項式的量子-古典的ギャップが存在することが示された。
• 変数が $n(n-1)$ 個の『メジャリティ』関数について、$Q_E(f) \leq n(n-1) - e(n(n-1)) + 1 < n(n-1)$ が成り立つ。これは、正確な量子クエリ複雑度が変数の数より厳密に小さい可能性があることを示している。
• 包摂性予想は量子コンピュータでは成り立たない：ある単調グラフ性質について $Q_E(P) < n(n-1)$ であり、かつ $Q_0(P) \in O(n^{3/2})$ であるものがあるため、古典的包摂性と矛盾する。
• 有界誤差量子アルゴリズムにおいて、『少なくとも1本の辺を含む』性質について $Q_2(P) \in O(n)$ である一方、$D(P) \in \Omega(n^2)$ であるため、二次の量子-古典的ギャップが確立された。