[論文レビュー] Bowen measure for derived from Anosov diffeomorphims

Martı́n Sambarino, Carlos H. Vásquez|ArXiv.org|Apr 7, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、拡張的位相同相写像 $f$ に specification 性質 を持つ $C^0$ ペチュルバーション $g$ が、唯一のボーエン測度（つまり、トポロジカル エントロピーを最大化する唯一のエルゴディック確率測度）をもつための十分条件を確立する。この手法は、$g$ から $f$ への半同型写像 $h$ による周期的クラスの力学を分析することに依拠し、各周期的クラスのトポロジカル エントロピーがゼロであり、かつ自明なクラス（シングルトン）が元のボーエン測度 $\mu$ に関して一般であるならば、$g$ の周期的測度が唯一の最大化測度に収束することを証明する。主要な結果は、Anosov 衍生微分同相写像およびそのサスペンション フローへと拡張可能である。

ABSTRACT

In this work we give general conditions under which a $C^0$ perturbation of an expansive homeomorphim with specification property has an unique Bowen measure, that is, there is an ergodic probability measure which is the unique measure maximizing the topological entropy. We apply these conditions to show that several derived from Anosov diffeomorphims have a unique Bowen measure.

研究の動機と目的

• 拡張的位相同相写像 $f$ に specification 性質 を持つ $C^0$ ペチュルバーション $g$ が、トポロジカル エントロピーを最大化する唯一の測度をもつ一般的条件を確立すること。
• 拡張性と specification 性質 を失うが、ミクロスケールで弱い形でこれらを保つような $g$ に対して、ボーエンが $f$ に対して構築した唯一のエントロピー最大化測度（ボーエン測度）を拡張すること。
• 導来-Anosov 微分同相写像に一般結果を適用し、わずかな力学的および幾何的条件下で、それらが唯一のボーエン測度をもつことを証明すること。
• この結果を、そのような DA 微分同相写像上のサスペンション フローへと拡張し、定数高さのサスペンション フローが唯一のエントロピー最大化測度をもつことを示すこと。
• DA 微分同相写像の特定のケースにとどまらず、より一般的な均衡状態へと一般化可能な枠組みを提供すること。

提案手法

• 写像 $h: X \to X$ を $f \circ h = h \circ g$ を満たす半同型写像とし、$[x] = h^{-1}(h(x))$ を同値類とする。
• 三つの主要な条件を定義する：(H1) 各同値類 $[x]$ における $g$ のトポロジカル エントロピーはゼロ；(H2) 各周期的クラス $[x]$ には、$h(x)$ と同じ周期の周期点が存在する；(H3) 自明なクラス（シングルトン）の集合は $\mu$ に関して全測度をもつ。
• 異なる $f$-軌道に属する周期点のみを用いて、$g$ の周期的軌道上に周期的確率測度 $\nu_n$ の列を構成する。
• $\nu_n$ が極限 $\nu$ に収束することを証明し、$\nu$ が $g$-不変でエルゴディックであり、変分原理によりエントロピーを一意に最大化することを示す。
• $g$-軌道が非自明なクラスに属する場合、双曲性と $f$ に $C^0$-近接であることから、反復により一様に収縮することを用いて、すべての $[x]$ に対して $h_{\text{top}}(g, [x]) = 0$ を示す。
• 導来-Anosov 微分同相写像にこの結果を適用する際には、不安定多様体と中心安定多様体の構造、および周期的クラスの挙動を用いて (H1)–(H3) を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡張的位相同相写像 $f$ に specification 性質 を持つ $C^0$ ペチュルバーション $g$ が、トポロジカル エントロピーを最大化する唯一の測度をもつための条件は何か？
• RQ2 $g$ が拡張性と specification 性質 を欠くが、$f$ に $C^0$-近接である場合、$f$ に対するボーエン測度の構成を $g$ へと拡張できるか？
• RQ3 導来-Anosov 微分同相写像は、唯一のボーエン測度をもつのか？ もしそうならば、どのような力学的および幾何的条件下で？
• RQ4 基盤写像がペチュルバティドされた場合、導来-Anosov 微分同相写像上のサスペンション フローの唯一のエントロピー最大化測度は保持されるか？
• RQ5 この手法は、エントロピー最大化のケースにとどまらず、より一般的な均衡状態へと一般化可能か？

主な発見

• 異なる $f$-軌道に属する周期点にのみ基づいて定義される $g$ の周期的確率測度 $\nu_n$ の列は、唯一の $g$-不変・エルゴディック測度 $\nu$ に収束し、これは変分原理によりトポロジカル エントロピーを最大化する。
• 導来-Anosov 微分同相写像では、(H1) が成り立つ。なぜなら、周期的クラスは吸引子の盆地内にあるか、あるいは反復により一様に収縮するため、エントロピーはゼロである。
• (H2) は、周期点 $p$ の中心安定多様体上にある周期的クラスが、自明なクラスか、あるいは周期軌道に吸引されるため、各クラスに周期点が存在することを保証する。
• (H3) は、自明なクラスの集合が元のボーエン測度 $\mu$ に関して全測度をもつため成り立つ。この性質は半同型写像のもとで保存される。
• 定数高さ関数 $\tau \equiv 1$ を持つ導来-Anosov 微分同相写像上のサスペンション フローは、唯一のエントロピー最大化測度をもち、それは $g$ のボーエン測度と区間上のLebesgue測度の積として与えられる。
• サスペンション フロー $\Psi$ の唯一のエントロピー最大化測度は $\mu_g \times \text{Leb}$ であり、そのエントロピーは $h_{\text{top}}(g)$ に等しく、変分原理とアブラハムの公式により一意性が確認される。