[論文レビュー] Braid actions on quantum toroidal superalgebras

Luan Bezerra, E. Mukhin|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$\mathfrak{gl}_{m|n}$ 型の異なる根系 $\mathbf{s}$ に付随する量子トロイダル超代数 $\mathcal{E}_{\mathbf{s}}$ が同型であることを確立し、縦型と横型の部分代数を入れ替える Miki 自動同型を構成する。直接和 $\oplus_{\mathbf{s}} \mathcal{E}_{\mathbf{s}}$ 上にトロイダルブレード群 $\widehat{\mathcal{B}}_{m+n}$ の作用を定義することで、同型不変性を証明し、ブレード群の要素に対するフーリエ変換を用いて Miki 自動同型を導出する。

ABSTRACT

We prove that the quantum toroidal algebras $\mathcal{E}_\mathbf{s}$ associated with different root systems $\mathbf{s}$ of $\mathfrak{gl}_{m|n}$ type are isomorphic. We also show the existence of Miki automorphism of $\mathcal{E}_\mathbf{s}$, which exchanges the vertical and horizontal subalgebras. To obtain these results, we establish an action of the toroidal braid group on the direct sum $\oplus_\mathbf{s} \mathcal{E}_\mathbf{s}$ of all such algebras.

研究の動機と目的

• 異なる根系の偶奇性 $\mathbf{s}$ を持つ $\mathfrak{gl}_{m|n}$ のための量子トロイダル代数 $\mathcal{E}_{\mathbf{s}}$ が同型であることを証明すること。
• $\mathcal{E}_{\mathbf{s}}$ 上に縦型と横型の部分代数を入れ替える Miki 自動同型を構成すること。
• 直接和 $\oplus_{\mathbf{s}} \mathcal{E}_{\mathbf{s}}$ 上にトロイダルブレード群 $\widehat{\mathcal{B}}_{m+n}$ の作用を確立し、根系の選択に依存しない代数の統一を図ること。
• 偶数の場合に既知のブレード群の作用と Miki 自動同型の結果を、$m \neq n$ かつ $m+n > 3$ の超代数設定に拡張すること。

提案手法

• $\mathcal{E}_{\mathbf{s}}$ を、偶奇性 $\mathbf{s}$ における縦型 $U_q^{ver}\widehat{\mathfrak{sl}}_{\mathbf{s}}$ と横型 $U_q^{hor}\widehat{\mathfrak{sl}}_{\mathbf{s}}$ の部分代数の生成する代数と定義する。パラメータ $q_1,q_2,q_3$ は $q_1q_2q_3=1$ かつ $q^2=q_2$ を満たす。
• 生成子 $\widehat{T}_i$、$\widehat{\mathcal{Y}}_j$、$\widehat{\tau}$ を用いて、$\oplus_{\mathbf{s}} \mathcal{E}_{\mathbf{s}}$ 上にトロイダルブレード群 $\widehat{\mathcal{B}}_{m+n}$ の作用を構成する。$\widehat{\tau}$ は偶奇列 $\mathbf{s}$ を巡回する。
• $\widehat{T}_1$ を、$U_q\widehat{\mathfrak{sl}}_{\mathbf{s}}$ の電流実現と Chevalley 実現におけるブレード群作用の整合性を用いて定義し、$U_q\mathfrak{sl}_{\mathbf{s}}$ 上の共通部分で整合性を保証する。
• [Y] における拡張アフィンブレード群作用を $\oplus_{\mathbf{s}} U_q\widehat{\mathfrak{sl}}_{\mathbf{s}}$ 上に用いることで、定義の正当性を縦型部分代数上での計算に還元する。
• Miki 自動同型 $\psi$ を、トロイダルブレード群のフーリエ変換 $\Phi$ による共役として構成し、$\widehat{\mathcal{Y}}_i$ を Knizhnik-Zamolodchikov 要素へ写像する。
• $\Phi^2(\widehat{\mathcal{Y}}_i) \in \langle \widehat{\mathcal{Y}}_i \rangle$ である性質を用いて、$\psi$ が $U_q^{ver}\widehat{\mathfrak{sl}}_{\mathbf{s}}$ と $U_q^{hor}\widehat{\mathfrak{sl}}_{\mathbf{s}}$ を交換することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる根系の偶奇性 $\mathbf{s}$ を持つ $\mathfrak{gl}_{m|n}$ のための量子トロイダル超代数 $\mathcal{E}_{\mathbf{s}}$ は同型であるか？
• RQ2 超代数設定において、縦型と横型の部分代数を入れ替える Miki 自動同型を構成できるか？
• RQ3 トロイダルブレード群 $\widehat{\mathcal{B}}_{m+n}$ は、直接和 $\oplus_{\mathbf{s}} \mathcal{E}_{\mathbf{s}}$ 上に、これらの同型を実現する形で作用するか？
• RQ4 生成子 $\widehat{T}_i$ が完全に明示的でない場合、$\mathcal{E}_{\mathbf{s}}$ 上にブレード群作用を明示的に定義できるか？
• RQ5 トロイダルブレード群のフーリエ変換 $\Phi$ は、Miki 自動同型の構成においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• すべての根系の偶奇性 $\mathbf{s}$ に対して、量子トロイダル代数 $\mathcal{E}_{\mathbf{s}}$ が同型であることが、補題 5.2 で示された。
• Miki 自動同型 $\psi$ が $\mathcal{E}_{\mathbf{s}}$ 上に存在し、$\psi(U_q^{ver}\widehat{\mathfrak{sl}}_{\mathbf{s}}) = U_q^{hor}\widehat{\mathfrak{sl}}_{\mathbf{s}}$ かつ $\psi(U_q^{hor}\widehat{\mathfrak{sl}}_{\mathbf{s}}) = U_q^{ver}\widehat{\mathfrak{sl}}_{\mathbf{s}}$ を満たすことが、定理 5.9 で示された。
• トロイダルブレード群 $\widehat{\mathcal{B}}_{m+n}$ は、生成子 $\widehat{T}_i$、$\widehat{\mathcal{Y}}_j$、$\widehat{\tau}$ を用いて $\oplus_{\mathbf{s}} \mathcal{E}_{\mathbf{s}}$ 上に作用する。$\widehat{T}_1$ は、電流実現と Chevalley 実現におけるブレード作用の整合性から定義される。
• Miki 自動同型 $\psi$ は、ブレード群のフーリエ変換 $\Phi$ による共役として実現され、$\psi(b g) = \Phi(b) g$（$b \in A$、$g \in U_q\mathfrak{sl}_{\mathbf{s}}$）を満たす。これは命題 5.11 による。
• 評価準同態 $\operatorname{ev}_u^\mathbf{s}: \mathcal{E}_{\mathbf{s}} \to \widetilde{U}_q\widehat{\mathfrak{gl}}_{\mathbf{s}}$ はブレード群作用を用いて構成され、$C^2 = q_3^{m-n}$ を満たし、標準的偶奇性の既存の構成と一致する。
• $\operatorname{ev}_u^\mathbf{s}$ による像の次数は、$X$ が次数 $(d_0, \dots, d_{N-1}, d_\delta)$ を持つとき、$\deg^{v}(\operatorname{ev}_u^\mathbf{s}(X)) = (d_1 - d_0, \dots, d_{N-1} - d_0; d_\delta)$ で与えられる。