[論文レビュー] Brown representability in $\A^1$-homotopy theory

Niko Naumann, Markus Spitzweck|ArXiv.org|Sep 10, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$S$ がノエター的スキームで、クルール次元が有限であり、かつその有限型の滑らかな $S$-スキームが可算個であるとき、安定 $Å^1$-ホモトピー圏 $\mathrm{SH}(S)$ におけるブラウンの表現定理を確立する。この条件下で $\mathrm{SH}(S)$ のコンパクト対象のなす圏が可算であることを示すことにより、$Å^1$-ホモトピー理論におけるコホミオロジー理論の表現可能性を保証する基礎的結果が得られる。

ABSTRACT

We prove the following result of V. Voevodsky. If $S$ is a finite dimensional noetherian scheme such that $S=\cup_α\Spec(R_α)$ for {\em countable} rings $R_α$, then the stable motivic homotopy category over $S$ satisfies Brown representability.

研究の動機と目的

• $S$ がノエター的スキームでクルール次元が有限であるとき、安定 $Å^1$-ホモトピー圏 $\mathrm{SH}(S)$ におけるブラウンの表現定理を確立すること。
• 滑らかな $S$-スキームの有限型の族 $Sm/S$ が可算であるという条件下で、コンパクト対象のフル部分圏 $\mathrm{SH}(S)^c$ が可算であることを示すこと。
• 不安定な有限性の結果を用いて、ヴォエヴォズキーの未発表の結果である $Å^1$-ホモトピー理論におけるブラウンの表現定理の証明を提供すること。
• $\mathrm{SH}(S)$ におけるブラウンの表現定理の完全な強さを用いて、新たなモチビックスペクトルを構成する基盤を築くこと。

提案手法

• $S$ 上の点付きモチビック空間の圏に、対象ごとのフラスクモデル構造の左ボウスフィールド局在を用いて、ほとんど有限生成かつモノイダルなモデル構造を構成すること。
• このモデル構造を用いて、点付きモチビック空間のホモトピー圏 ${\mathrm{H}}_{\bullet}(S)$ が制御されたファイブレーション再構成関手をもつことを証明すること。
• 不安定な有限性の結果の確立：$Sm/S$ が可算であれば、任意の有限型の点付き $(X,x)$ と、局所的に可算な $F$ に対して、ホモトピー類の集合 $|{\mathrm{H}}_{\bullet}(S)((X,x),F)|$ は可算である。
• 重要な同型の証明：${\mathrm{SH}}(S)(\Sigma^\infty_{{\mathbb{P}}^1}(X,x),E) \simeq \mathrm{colim}_n {\mathrm{H}}_{\bullet}(S)(({\mathbb{P}}^1,\infty)^{\wedge n} \wedge (X,x), E_n)$ が、安定な写像と不安定な写像を結ぶ。
• $Sm/S$ の可算性と $E_n$ の局所的可算性を用いて、すべてのコンパクト対象 $F$ と ${\mathbb{P}}^1$-スペクトル $E$ に対して、$E^{p,q}(F) = {\mathrm{SH}}(S)(F, \Sigma^{p,q}E)$ が可算であることを示すこと。
• 三角化圏における標準的議論を用いて、$\mathrm{SH}(S)^c$ が、拡張とシフトに関して生成される可算なコンパクト対象の集合からなるので、可算であると結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $S$ がノエター的スキームでクルール次元が有限であり、かつ $Sm/S$ が可算であるとき、安定 $Å^1$-ホモトピー圏 $\mathrm{SH}(S)$ におけるブラウンの表現定理は成立するか？
• RQ2 同じ仮定のもとで、コンパクト対象の圏 $\mathrm{SH}(S)^c$ が可算であることを示せるか？
• RQ3 どのような条件下で、コンパクト対象 $F$ と ${\mathbb{P}}^1$-スペクトル $E$ に対して、写像空間 $\mathrm{SH}(S)(F, \Sigma^{p,q}E)$ の集合が可算になるか？
• RQ4 モチビックホモトピー理論における不安定な有限性の結果を、安定設定における有限性の証明にどう活用できるか？
• RQ5 ファイブレーション再構成関手は、モチビック空間におけるホモトピー集合の濃度をどのように制御するか？

主な発見

• $Sm/S$ が可算である限り、$S$ がノエター的スキームでクルール次元が有限であれば、安定 $Å^1$-ホモトピー圏 $\mathrm{SH}(S)^c$ は可算である。
• 任意の有限型の点付きモチビック空間 $(X,x)$ と、$\Delta^{op}\mathrm{Pre}(Sm/S)_{\bullet}$ 内の局所的に可算な $F$ に対して、ホモトピー類の集合 $|{\mathrm{H}}_{\bullet}(S)((X,x),F)|$ は可算である。
• 写像空間 ${\mathrm{SH}}(S)(\Sigma^\infty_{{\mathbb{P}}^1}(X,x),E)$ は、列挙 $\mathrm{colim}_n {\mathrm{H}}_{\bullet}(S)(({\mathbb{P}}^1,\infty)^{\wedge n} \wedge (X,x), E_n)$ に同型であり、安定ホモトピー集合と不安定ホモトピー集合を結ぶ。
• ${\mathbb{P}}^1$-スペクトル $E$ が局所的に可算な $E_n$ をもつとき、すべてのコンパクト対象 $F \in \mathrm{SH}(S)^c$ に対して、アーベル群 $E^{p,q}(F) = {\mathrm{SH}}(S)(F, \Sigma^{p,q}E)$ は可算である。
• $\mathrm{SH}(S)^c$ は、可算集合 $\mathcal{G} = \{\Sigma^{p,q}\Sigma^\infty_{{\mathbb{P}}^1}U_+ \mid U \in Sm/S, p,q \in \mathbb{Z}\}$ が拡張とシフトに関して生成されるので、可算である。
• 証明は、点付きモチビック空間のほぼ有限生成なモデル構造における制御されたファイブレーション再構成関手に依存しており、これによりホモトピー集合の可算性が保証される。