[論文レビュー] Bulk-corner correspondence of time-reversal symmetric insulators: deduplicating real-space invariants

Sander H. Kooi, Guido van Miert+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2020

Topological Materials and Phenomena参考文献 59被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、時間反転対称性を持つトポロジカル絶縁体において、クライマーの degeneracy により従来の不変量が失敗する状況で、バルク・コーナー対応を解消するため、部分的実空間不変量を導入する。この手法は、回転行列の修正された主対数を用いて、ギャップのない界面モードが存在しない状況でも、孤立構造およびヘテロ構造における分数型コーナー電荷を検出でき、完全に壊れやすいトポロジカル相を捉えることができる。

ABSTRACT

The topology of insulators is usually revealed through the presence of gapless boundary modes: this is the so-called bulk-boundary correspondence. However, the many-body wavefunction of a crystalline insulator is endowed with additional topological properties that do not yield surface spectral features, but manifest themselves as (fractional) quantized electronic charges localized at the crystal boundaries. Here, we formulate such bulk-corner correspondence for the physical relevant case of materials with time-reversal symmetry and spin-orbit coupling. To so do we develop "partial" real-space invariants that can be neither expressed in terms of Berry phases nor using symmetry-based indicators. These new crystalline invariants govern the (fractional) quantized corner charges both of isolated material structures and of heterostructures without gapless interface modes. We also show that the partial real-space invariants are able to detect all time-reversal symmetric topological phases of the recently discovered fragile type.

研究の動機と目的

• 標準的な対称性に基づく不変量および実空間不変量が、時間反転対称性を持つトポロジカル絶縁体における分数型コーナー電荷を捉えられない問題を解決すること。
• 表面モードがギャップを持ち、対称性インジケータが不十分な状況における壊れやすいトポロジカル絶縁体のトポロジカル相を検出するための手法を開発すること。
• スピン軌道結合と時間反転対称性を持つ結晶絶縁体において、エッジまたは表面状態が存在しない場合でも、バルク・コーナー対応を確立すること。
• 2次元および3次元系における量子化されたコーナー電荷を検出可能なゲージ不変で数値的に安定した不変量の計算フレームワークを提供すること。

提案手法

• 時間反転対称系に特化した、ベリー位相や対称性インジケータでは表現できない部分的実空間不変量を提案する。
• ウィルスンループの進化を表す直交行列の主対数を用いてトポロジカル情報を抽出し、N > 2 の SO(N) に対しては、修正された分岐切断処理を適用する。
• シュール分解を用いて固有値を複素共役対 e^{±iθ_j} にグループ化し、回転角 θ_j を符号化する反対称行列 X_j を定義する。
• 隣接する行列間の分岐切断の交差回数を数えるクロスインジケータ関数を導入し、対数差のフロベニウスノルムを用いる。
• 閉ループ上の全分岐切断交差回数の偶奇を用いて Z₂ 不変量を計算し、高次元回転における曖昧さを解消する。
• Python および SciPy を用いた数値アルゴリズムを用い、主対数の計算とトポロジカル巻き付きの追跡を実施し、周期的境界条件を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来の不変量や対称性インジケータが失敗する状況でも、時間反転対称性を持つ絶縁体における分数型コーナー電荷を検出できるか？
• RQ2 表面またはへッジモードに依存せずに、コーナー電荷を捉えることができるトポロジカル不変量をどのように定義できるか？
• RQ3 時間反転対称系における壊れやすいトポロジカル相を完全に特徴づけるトポロジカル不変量は何か？
• RQ4 N > 2 のときの基本群 π₁(SO(N)) = ℤ₂ をどのように活用し、バルク・コーナー対応に向けた堅牢な Z₂ 不変量を定義できるか？
• RQ5 ギャップを持つ界面を持つヘテロ構造においても、部分的実空間不変量は量子化されたコーナー電荷を検出可能か？

主な発見

• 部分的実空間不変量は、表面状態がギャップを持つ孤立した2次元および3次元時間反転対称性を持つ絶縁体においても、分数型コーナー電荷を正しく検出できた。
• この手法は、最近発見された壊れやすいトポロジカル絶縁体のクラスにおけるすべての壊れやすいトポロジカル相を特定でき、対称性インジケータおよび標準的な実空間不変量では検出できない。
• ウィルスンループ行列の主対数における分岐切断交差回数の偶奇から得られる Z₂ 不変量は、クライマーのdegeneracy が存在する系のトポロジーを正しく捉えている。
• N > 2 の SO(N) 上の閉ループに対して、基本群が ℤ₂ であり、分岐切断の曖昧さが2を法として交差回数を数えることで解消されるため、アルゴリズムは正しく不変量を計算する。
• シュール分解と主対数の数値的実装により、現実の結晶絶縁体におけるコーナー電荷の堅牢でゲージ不変な検出が可能になった。
• このアプローチにより、時間反転対称系におけるバルク境界対応をバルク・コーナー対応へと拡張し、壊れやすい相に対する完全なトポロジカル分類を提供した。