[論文レビュー] Theory of Anomalous Floquet Higher-Order Topology: Classification, Characterization, and Bulk-Boundary Correspondence

Rui-Xing Zhang, Zhi-Cheng Yang|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2020

Topological Materials and Phenomena参考文献 86被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2次元駆動系における異常フラーレット高次位相的絶縁体（AFHOTI）を分類・特徴付ける統一的枠組みを確立し、時間発展演算子の位相スペクトルにおける3次元ディラック/ワイル型位相的特異点としての、ロバストなコーナー状態を同定する。主な結果は、これらの特異点と対称性保護されたゼロエネルギーのコーナー状態を結ぶ高次元のバルク境界対応関係であり、次元還元と明示的なモデル（$C_2$および$D_4$対称性を有する）を用いて検証されている。

ABSTRACT

Periodically-driven or Floquet systems can realize anomalous topological phenomena that do not exist in any equilibrium states of matter, whose classification and characterization require new theoretical ideas that are beyond the well-established paradigm of static topological phases. In this work, we provide a general framework to understand anomalous Floquet higher-order topological insulators (AFHOTIs), the classification of which has remained a challenging open question. In two dimensions (2D), such AFHOTIs are defined by their robust, symmetry-protected corner modes pinned at special quasienergies, even though all their Floquet bands feature trivial band topology. The corner-mode physics of an AFHOTI is found to be generically indicated by 3D Dirac/Weyl-like topological singularities living in the phase spectrum of the bulk time-evolution operator. Physically, such a phase-band singularity is essentially a "footprint" of the topological quantum criticality, which separates an AFHOTI from a trivial phase adiabatically connected to a static limit. Strikingly, these singularities feature unconventional dispersion relations that cannot be achieved on any static lattice in 3D, which, nevertheless, resemble the surface physics of 4D topological crystalline insulators. We establish the above higher-order bulk-boundary correspondence through a dimensional reduction technique, which also allows for a systematic classification of 2D AFHOTIs protected by point group symmetries. We demonstrate applications of our theory to two concrete, experimentally feasible models of AFHOTIs protected by $C_2$ and $D_4$ symmetries, respectively. Our work paves the way for a unified theory for classifying and characterizing Floquet topological matters.

研究の動機と目的

• 非自明なバルクバンド位相トポロジーを示すにもかかわらず、ロバストなコーナー状態を有する異常フラーレット高次位相的絶縁体（AFHOTI）を分類するという未解決の課題を解決すること。
• 従来の位相バンド理論を超えて、周期的駆動系における高次位相的相に向けたバルク境界対応関係を確立すること。
• コーナー状態の位相的起源を、時間発展演算子の位相スペクトルにおける3次元ディラック/ワイル型特異点として同定すること。
• 点群対称性（$C_n$および$D_n$群を含む）によって保護されるAFHOTIの体系的分類を提供すること。
• $C_2$および$D_4$対称性を有する具体的なモデルを通じて、実験的実現可能性を示し、位相バンド特異点の検出を可能にすること。

提案手法

• 2次元AFHOTIを有効な3次元位相的相に還元することで、位相バンド特異点を用いた分類が可能になるように次元還元を用いる。
• フラーレット時間発展演算子 $U({\bf k},t)$ の位相スペクトルにおける位相的特異点を、異常高次位相的トポロジーの主要な指標として特定する。
• 回転対称性を持つ基底変換を適用して $C_4$ 対称性を対角化し、$U({\bf k},t)$ の解析を簡略化し、ディラック型点の構造を明らかにする。
• $T/4 < t \leq 3T/4$ および $3T/4 < t \leq T$ の時間間隔において、$U_{2}({\bf k},t)$ および $U_{3}({\bf k},t)$ の解析的表現を導出し、ダイナミカルディラック点（DDP）の位置を特定する。
• 時間発展演算子行列における $a_i = -1$ の条件を用いてDDPの存在条件を確立し、$U_2$ に対しては $w_0 + w_1 \geq \sqrt{2}\pi$、$U_3$ に対しては $w_1 + w_0 \geq \sqrt{2}\pi$ が得られ、これは $π$ エネルギーのコーナー状態の位相境界と一致する。
• DDP近傍における有効ハミルトニアン $h_D = i\log U$ を構築し、$({\bf k}, t)$ 空間における3次元ディラック点を記述していることが示され、非標準的な分散関係を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元の異常フラーレット高次位相的絶縁体において、バルクバンド位相が自明であるにもかかわらずロバストなコーナー状態が存在する位相的起源は何か？
• RQ2 周期的駆動系における高次位相的相に向けたバルク境界対応関係は、どのように一般化できるか？
• RQ3 時間発展演算子の位相スペクトルにおける3次元ディラック/ワイル型特異点が、異常フラーレット位相的性質を特徴付ける役割を果たすか？
• RQ4 $C_2$および$D_4$のような点群対称性によって保護されるAFHOTIは、どのように体系的に分類できるか？
• RQ5 ダイナミカルディラック点（DDP）の存在と、対称性保護されたコーナー状態の出現との間にどのような関係があるか？

主な発見

• $D_4$ 対称性を持つモデルにおいて、$U({\bf k},t)$ の位相スペクトルにダイナミカルディラック点（DDP）が存在することは、対称性保護された $π$ エネルギーのコーナー状態が存在するための必要十分条件である。
• $(\Gamma, t_0)$ におけるDDPは、$w_0 + w_1 \geq \sqrt{2}\pi$ のときに正確に発生し、これは $π$ エネルギーのコーナー状態の位相境界と一致する。この結果、DDPが位相的インバリアントであることが証明される。
• DDP近傍における有効ハミルトニアンは、$({\bf k}, t)$ 空間における3次元ディラック点であり、いかなる静的3次元格子でも実現できない分散関係を示すが、4次元位相的結晶絶縁体の表面物理学に類似している。
• $D_4$ によって保護されるAFHOTIでは、DDPは4重にデゲネレートしており、$D_4$ 点群によって保護されており、鏡対称性によって位相的電荷が制約されている。
• $D_n$ によって保護されるAFHOTIの分類は、次元還元によって達成され、コーナー状態の数とその対称性保護の性質を予測する高次元位相的インデックスが得られる。
• 理論は明示的なモデルを通じて検証された：$C_2$ 対称性を持つAFHOTIと $D_4$ 対称性を持つAFHOTIの両方とも、予測された位相境界でロバストなコーナー状態とDDPを示している。