[論文レビュー] C-infinity-regularization by Noise of Singular ODE's

Oussama Amine, David Baños+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2017

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 31被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、特異な常微分方程式（ODE）を正則化するため、非 Hölder 継続的経路を有する新しい分数拡散過程を導入する。Nash-Moser の反復法とフラクタルな確率的曲線に沿った高次平均化作用素を組み合わせることで、ベクトル場が $L^q([0,T];L^p(\mathbb{R}^d))$ に属するが $p,q>2$ の場合でさえも、解の存在、一意性、および初期条件に関して無限回微分可能であることを証明する。これは古典的な正則性継承原理に反する。

ABSTRACT

In this paper we construct a new type of noise of fractional nature that has a strong regularizing effect on differential equations. We consider an equation with this noise with a highly irregular coefficient. We employ a new method to prove existence and uniqueness of global strong solutions, where classical methods fail because of the "roughness" and non-Markovianity of the driving process. In addition, we prove the rather remarkable property that such solutions are infinitely many times classically differentiable with respect to the initial condition in spite of the vector field being discontinuous. The technique used in this article corresponds to the Nash-Moser principle combined with a new concept of "higher order averaging operators along highly fractal stochastic curves". This approach may provide a general principle for the study of regularization by noise effects in connection with important classes of partial differential equations.

研究の動機と目的

• 不規則で不連続なベクトル場を有する ODE の適切な定式化を、特定の種類のノイズを加えることで確立すること。
• 駆動ノイズ過程が非マルコフ的かつ粗い性質を示すため、古典的手法が失敗する状況を克服すること。
• ベクトル場が滑らかでない場合でも、ノイズ摂動付き SDE の解が初期条件に関して無限回微分可能であることを示すこと。
• PDE や確率的力学系におけるノイズによる正則化のための、高次平均化とマルヤヴィン計算に基づく一般枠組みを構築すること。

提案手法

• Hursten パrameter $H_n \searrow 0$ を持つ独立な分数 Browm 動作を用いて、$\mathbb{B}_t = \sum_{n\geq1} \lambda_n B_t^{H_n,n}$ として定義される定常ガウスノイズ過程を構築する。
• フーリエ解析を介したマルヤヴィン計算と部分積分技術を用い、解の正則性を分析する。
• 粗い非マルコフ的ノイズの下で、解の正則性を段階的に向上させるために Nash-Moser 原理を適用する。
• ノイズの複雑な依存構造を扱うために、『フラクタルな確率的曲線に沿った高次平均化作用素』という新しい概念を導入する。
• コンパクト性基準とカーネル $K_H(t,u)$ を含む確率積分表現を用いて、ノイズのパスワイズ挙動を制御する。
• SDE を $Y_t^x = X_t^x - \mathbb{B}_t$ に対する ODE に再定式化する。ここでベクトル場は $b^*(t,y) = b(t, y + \mathbb{B}_t)$ に変化し、確率的摂動の分析が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不連続なベクトル場を有する特異な ODE は、特別に構築されたノイズ過程を用いることで、正則化され、適切に定式化可能か？
• RQ2 このようなノイズ摂動付き SDE の解は、ベクトル場が古典的な滑らかさを欠いても、初期条件に関して無限回微分可能であると継承するか？
• RQ3 非マルコフ的かつフラクタルなノイズを持つ確率的設定において、Nash-Moser 法を高次正則性 $C^\infty$ を達成するために適応可能か？
• RQ4 フラクタルな確率的曲線に沿った高次平均化作用素は、ノイズによる正則化に果たす役割は何か？
• RQ5 この枠組みは、不規則な係数を有する Euler 方程式やその他の PDE の確率的バージョンを研究するための拡張が可能か？

主な発見

• ベクトル場 $b \in \mathcal{L}_{2,p}^q$ で $p,q \in (2,\infty]$ の場合でも、SDE $X_t^x = x + \int_0^t b(s,X_s^x)ds + \mathbb{B}_t$ は、初期条件に関する一意なグローバル強い解を有する。これは、ベクトル場がリプシッツ的または連続的でない場合でも成立する。
• 解はほとんど確実に初期条件に関して無限回微分可能である。すなわち、すべての $t$ に対して $x \mapsto X_t^x \in C^\infty(\mathbb{R}^d; \mathbb{R}^d)$ a.s. が成り立つ。これは $b$ が不連続であっても成立する。
• 正則化効果は、$H_n \searrow 0$ を満たす分数 Browm 動作の和として構築された新しいノイズによって達成され、非 Hölder 継続的経路と非マルコフ的依存性を保証する。
• この手法は、フラクタルな確率的曲線に沿った高次平均化作用素の新しいクラスに依存しており、微分推定におけるノイズの不規則性を制御可能である。
• 証明技法は、マルヤヴィン計算とコンパクト性基準、および反復積分のシャッフル積公式の一般化を組み合わせており、Nash-Moser 反復における収束を保証する。
• この枠組みは、特異的または不規則な係数を有する PDE や確率的力学系におけるノイズによる正則化の一般的原理を提供する。