[論文レビュー] C-infinity regularization of ODEs perturbed by noise

Fabian A. Harang, Nicolas Perkowski|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 28被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、不規則な経路で摂動される常微分方程式（ODE）に対して、経路に依存する正則化フレームワークを確立している。摂動経路の局所時刻が十分に滑らかである、特にソボレフ空間内にあると仮定すれば、解は一意に存在し、$C^\infty$の微分同相写像の流れを誘導する。この手法は非線形ヤング積分と局所時刻解析に依存しており、確率的ノイズから一般の正則化経路への結果の拡張を実現する。

ABSTRACT

We study ODEs with vector fields given by general Schwartz distributions, and we show that if we perturb such an equation by adding an "infinitely regularizing" path, then it has a unique solution and it induces an infinitely smooth flow of diffeomorphisms. We also introduce a criterion under which the sample paths of a Gaussian process are infinitely regularizing, and we present two processes which satisfy our criterion. The results are based on the path-wise space-time regularity properties of local times, and solutions are constructed using the approach of Catellier-Gubinelli based on non-linear Young integrals.

研究の動機と目的

• 分布的ベクトル場を伴うODEの正則化について、確率的零集合に依存しない完全に経路に依存するフレームワークの構築。
• ODE $y_t^x = x + \int_0^t b(y_r)\,dr + \epsilon w_t$ の解が初期条件 $x$ に対して一意かつ滑らかに定義されるような、経路 $w$ に関する条件の同定。
• 経路 $w$ の局所時刻の適切な正則性のもとで、流れ写像 $x \mapsto y_t^x$ が無限回微分可能（$C^\infty$）であることを確立すること。
• 分数ブラウン運動を超える範囲に応用可能な、ガウス過程が無限回正則化可能であるための一般基準の提供。
• フーリエ＝レーベグ空間やベゾフ空間ではなく、ソボレフ空間に焦点を当てることで、決定的および確率的正則化を統合し、$b$ がホルダー空間や $L^2$-ソボレフクラスに属する場合にも広く適用可能にする。

提案手法

• 摂動経路 $w$ の正則性に基づき、$b$ を分布とみなしたときの積分 $\int_0^t b(y_r)\,dr$ を定義する非線形ヤング積分理論の使用。
• 経路 $w$ の空間的・時間的正則性を制御する局所時刻 $L$ の分析。適切な条件下で $L$ が $W^{\gamma,2}$ に属することを示す（$\gamma > 1/2$）。
• 積分を畳み込みとして表現：$\int_0^t b(x + w_s)\,ds = b * L(-\cdot)$。これにより、ソボレフ空間における畳み込み推定による制御が可能になる。
• セービング補題を用いて解を構成し、$b$ に依存する零集合に依存しない経路的アプローチにより、存在性と一意性を証明する。
• 高階のフレシェ微分を求めるために繰り返し微分をセービング補題で扱い、流れ写像の無限回微分可能性を証明する。
• 独立増分とホルダー連続な局所時刻を有するガウス過程のクラスを同定し、$C^\infty$正則化に必要な正則性を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分布的 $b$ に対して、ODE $y_t^x = x + \int_0^t b(y_r)\,dr + \epsilon w_t$ が経路に依存する条件下で一意解を有するための $w$ の条件は何か？
• RQ2 経路的解析のみを用いて、流れ写像 $x \mapsto y_t^x$ が初期条件 $x$ に対して無限回微分可能（$C^\infty$）であることを示せるか？
• RQ3 ODEの $C^\infty$正則化を保証するための、経路 $w$ の局所時刻 $L$ の正則性特性は何か？
• RQ4 どのガウス過程が、$b$ が $L^2$ やホルダー空間に属するODEに対して $C^\infty$流れを誘導する十分なソボレフ正則性の局所時刻を有するか？
• RQ5 正則化効果をベクトル場 $b$ に依存しない形にできないか？特に $b$ に依存する零集合を回避するにはどうすればよいか？

主な発見

• 局所時刻 $L$ が $W^{\gamma,2}$ に属し $\gamma > 1/2$ であれば、分布的勾配 $b$ を伴うODEはすべての $x$ に対して一意に解をもつ。
• 同じ $L$ の正則性条件のもとで、解写像 $x \mapsto y_t^x$ は任意の $\tau \in (0,T]$ に対して $C([0,\tau], \mathbb{R}^d)$ 内で無限回フレシェ微分可能である。
• 局所時刻 $w$ が $W^{\gamma,2}$ に属し $\gamma > 1/2$ であれば、すべての $t \in (0,T]$ に対して流れは $C^\infty$微分同相写像である。
• 局所時刻 $L$ の経路的正則性に依存するため、確率的零集合を避けることができ、結果は非確率的経路に対しても適用可能になる。
• 独立増分を有するガウス過程と、$W^{\gamma,2}$ に属するホルダー連続な局所時刻を有するガウス過程の2つのクラスが、必要な局所時刻正則性を満たすことが同定された。
• カテリエル＝グビネリおよびフランドリ・ポリトの先行研究を一般化し、非確率的および非ガウス的正則化経路に対しても $C^\infty$正則化を拡張した。