[論文レビュー] Calabi-Yau completions and orbifold equivalences

Nils Carqueville, Alexander Quintero Vélez|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 47被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、特定の条件下で、ホモロジカルに滑らかでかつ固有な微分付き代数の間の軌道型同値関係を、それらのカラビ・ヤウ完成に持ち上げるメカニズムを確立する。もし二つの代数間に可逆な量子次元を持つ1-射が存在するならば、その同値関係は同じくそれらのカラビ・ヤウ完成へと持ち上げられ、量子次元の可逆性によって誘導されるカテゴリカル同値関係を保存することが示される。

ABSTRACT

Calabi-Yau algebras are particularly symmetric differential graded algebras. There is a construction called `Calabi-Yau completion' which produces a canonical Calabi-Yau algebra from any homologically smooth dg algebra. Homologically smooth dg algebras also form a 2-category to which the construction of `equivariant completion' can be applied. In this theory two objects are called `orbifold equivalent' if there is a 1-morphism $X$ with invertible quantum dimensions between them. Any such relation entails a whole family of equivalences between categories. We show that an orbifold equivalence between two homologically smooth and proper dg algebras lifts to an orbifold equivalence between their Calabi-Yau completions under certain conditions on $X$.

研究の動機と目的

• 微分付き代数の文脈において、カラビ・ヤウ完成と軌道型同値関係の相互作用を調査すること。
• 元々トポロジカル量子場理論から生じた軌道型同値関係の理論を、カラビ・ヤウ完成の設定へと拡張すること。
• ホモロジカルに滑らかでかつ固有なdg代数間の軌道型同値関係が、それらのカラビ・ヤウ完成へと持ち上げられる条件を確立すること。
• ギンツブルグ代数とADE型クーヴィの結果を一般化し、それらを同変完成および量子次元理論に接続すること。

提案手法

• ケラーによるカラビ・ヤウ完成の構成を用い、任意のホモロジカルに滑らかなdg代数から、テンソル代数拡張によってn-カラビ・ヤウ代数を生成する。
• 文献[19]の同変完成の構成をdg代数の2カテゴリに適用し、軌道型同値関係が可逆な量子次元を持つ1-射によって定義される双カテゴリを生成する。
• dg双モジュールにおける随伴の結合則を用いて、ホモロジー関手とテンソル関手を関連づけ、代数間でのモジュール構造の操作を可能にする。
• dg代数の双カテゴリにおける1-射の量子次元を用いて軌道型同値関係を定義し、この不変量の可逆性に依存する。
• ランダウ＝ギンツブルグモデルおよびADE型クーヴィに理論を適用し、ADE型のディンキンクーヴィに付随するギンツブルグ代数が、パス代数のカラビ・ヤウ完成として得られることを示す。
• dg双モジュールを$A^{{ extrm{op}}} \otimes_k B$上のモジュールとして特定することで、導来カテゴリにおける標準的なホモロジー代数の道具を用いることができる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つのホモロジカルに滑らかでかつ固有なdg代数間の軌道型同値関係が、それらのカラビ・ヤウ完成間の同値関係へと持ち上げられる条件は何か？
• RQ2 1-射の量子次元はカラビ・ヤウ完成においてどのように振る舞い、その可逆性が保たれる条件は何か？
• RQ3 ランダウ＝ギンツブルグモデルの双カテゴリにおける軌道型同値関係は、ギンツブルグ代数を通じてそのカラビ・ヤウ完成へと持ち上げられるか？
• RQ4 軌道型同値関係によって誘導されるカテゴリカル同値関係は、カラビ・ヤウ完成の構成においてどの程度維持されるか？
• RQ5 ADE型クーヴィに付随するギンツブルグ代数は、それらの基本となるパス代数の軌道型同値類とどのように関係するか？

主な発見

• 二つのホモロジカルに滑らかでかつ固有なdg代数間の軌道型同値関係は、元の1-射が可逆な量子次元を持つ限り、それらのカラビ・ヤウ完成間の軌道型同値関係へと持ち上げられる。
• カラビ・ヤウ完成の構成は、dg代数の2カテゴリの構造を保存する。これには、随伴の存在と量子次元の概念が含まれる。
• ADE型のディンキンクーヴィに対して、関連するギンツブルグ代数は、正確にパス代数$kQ$のカラビ・ヤウ完成であり、それらの軌道型同値類は元の代数から引き継がれる。
• 1-射$X$が元の双カテゴリで可逆な量子次元を持つという条件が満たされれば、その持ち上げ結果が成立する。これは、双モジュールのカテゴリ内で両側逆元の存在を保証する。
• シフトされた双モジュールの上でのテンソル代数としてのカラビ・ヤウ完成の構成により、得られる代数は$n$-カラビ・ヤウであり、導来カテゴリにおける必要な双対性同型が満たされる。
• 本稿は、元の双カテゴリにおける軌道型同値関係と、カラビ・ヤウ完成におけるそれらの間の標準的対応を確立し、誘導されるカテゴリカル同値関係の完全な族を保存する。