[論文レビュー] Calculating the Fundamental Group of the Circle in Homotopy Type Theory

Daniel R. Licata, Michael Shulman|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2013

Logic, programming, and type systems参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、経路帰納法と円の普遍被覆を用いて、ホモトピー型理論における円の基本群を構成する。π₁(S¹)がℤに同型であることを証明し、型理論的手法による合成的ホモトピー論の基礎的結果を確立する。

ABSTRACT

Recent work on homotopy type theory exploits an exciting new correspondence between Martin-Lof's dependent type theory and the mathematical disciplines of category theory and homotopy theory. The category theory and homotopy theory suggest new principles to add to type theory, and type theory can be used in novel ways to formalize these areas of mathematics. In this paper, we formalize a basic result in algebraic topology, that the fundamental group of the circle is the integers. Though simple, this example is interesting for several reasons: it illustrates the new principles in homotopy type theory; it mixes ideas from traditional homotopy-theoretic proofs of the result with type-theoretic inductive reasoning; and it provides a context for understanding an existing puzzle in type theory---that a universe (type of types) is necessary to prove that the constructors of inductive types are disjoint and injective.

研究の動機と目的

• ホモトピー型理論の枠組み内で、円の基本群を形式的に導出すること。
• 型理論的構成を用いて、円のループ空間が整数と同型であることを示すこと。
• 古典的位相的モデルに依存せずに、π₁(S¹) ≅ ℤの合成的証明を提供すること。
• ホモトピー型理論における高次の帰納型と経路帰納法の基礎的道具を確立すること。

提案手法

• S¹の経路を型S¹の要素として、経路帰納法を用いて定義し、それについて推論を行う。
• 基本点と経路の引き上げを備えた、高次の帰納型としてS¹の普遍被覆を構成する。
• S¹の基本点とループに関する再帰を用いて、ℤをファイバーとする型族を定義する。
• S¹の再帰原理を活用して、ℤからS¹への被覆写像によるファイブレーションを確立する。
• 経路帰納法の一意性原理を適用し、すべてのループが標準的ループによって生成されることを示す。
• 普遍被覆の全空間が収縮可能であることを示し、これにより基本群がℤであることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモトピー型理論の枠組み内で、円の基本群をどのように純粋に構成できるか？
• RQ2 経路帰納法は、円上のループを特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ3 円の普遍被覆を高次の帰納型として形式化することで、π₁(S¹) ≅ ℤを証明できるか？
• RQ4 円の再帰原理は、ℤへの被覆写像の構成をどのように可能にするか？
• RQ5 合成的ホモトピー理論的枠組みにおいて、S¹のループ空間と整数の間の関係は何か？

主な発見

• ホモトピー型理論において、基本群π₁(S¹)は整数ℤに同型である。
• 経路帰納法により、古典的位相的道具に依存せずに、円のループ空間構造を合成的に導出可能である。
• S¹の普遍被覆は、ファイバーがℤに同型である高次の帰納型として構成される。
• 普遍被覆の全空間は収縮可能であり、被覆が単連結であることを確認する。
• ℤからS¹への被覆写像は、基本群のレベルで同型を誘導する。
• 証明により、円上のすべてのループは、ホモトピーの意味で標準的ループによって生成されることが示された。