[論文レビュー] Calogero-Moser Models II: Symmetries and Foldings

Andrew J. Bordner, Ryu Sasaki+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 1998

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 34被引用数 33

ひとこと要約

本稿は、$E_8$ も含む単純根系に基づくコラジェロ＝モーザー模型に対して、すべての4つのポテンシャル（有理型、三角関数型、双曲型、楕円型）およびスペクトルパラメータ有無の両方を含め、普遍的なラクス対（ルート型および最小型）を提示する。楕円型ポテンシャルから折りたたみ対称性を用いてねじれ非単純根系モデルを導出し、非ねじれ非単純根系モデルでは長根と短根に対して独立した結合定数を持つルート型ラクス対を構成する。特に $BC_n$ には3つの独立結合定数があり、$G_2$ は楕円型の場合に新しい関数を必要とする。

ABSTRACT

Universal Lax pairs (the root type and the minimal type) are presented for Calogero-Moser models based on simply laced root systems, including E_8. They exist with and without spectral parameter and they work for all of the four choices of potentials: the rational, trigonometric, hyperbolic and elliptic. For the elliptic potential, the discrete symmetries of the simply laced models, originating from the automorphism of the extended Dynkin diagrams, are combined with the periodicity of the potential to derive a class of Calogero-Moser models known as the `twisted non-simply laced models'. For untwisted non-simply laced models, two kinds of root type Lax pairs (based on long roots and short roots) are derived which contain independent coupling constants for the long and short roots. The BC_n model contains three independent couplings, for the long, middle and short roots. The G_2 model based on long roots exhibits a new feature which deserves further study.

研究の動機と目的

• 単純根系（$E_8$ を含む）に基づくコラジェロ＝モーザー模型に対して、有理型、三角関数型、双曲型、楕円型の4つの長距離ポテンシャルすべてについて普遍的ラクス対を構築すること。
• 拡張されたディンキン図の自己同型とポテンシャルの周期性を組み合わせることで、楕円型コラジェロ＝モーザー模型における離散的対称性を特定すること。
• 既知の可積分系の縮約を一般化する折りたたみ手順を用いて、ねじれ非単純根系モデルを導出すること。
• 非ねじれ非単純根系モデルに対して、長根と短根のそれぞれに基づく独立結合定数を持つルート型ラクス対を構築すること。
• $G_2$ 場合について、楕円型ポテンシャルのラクス対に新しい関数セットを必要とする点を扱うこと。

提案手法

• 有理型、三角関数型、双曲型、楕円型ポテンシャルの両方に対して、有効な普遍的ルート型および最小型ラクス対を単純根系に導入する。
• 拡張されたディンキン図の自己同型を用いて、楕円型コラジェロ＝モーザー模型における離散的対称性を特定する。
• これらの離散的対称性と楕円型ポテンシャルの周期性を組み合わせ、系をねじれ非単純根系モデルに折りたたむ。
• 非単純根系モデルに対して2種類の異なるルート型ラクス対を構築する：1つは長根に基づき、もう1つは短根に基づく。それぞれが独立した結合定数を持つ。
• $BC_n$ モデルを、中間根同士の分解を用いて長根、中間根、短根の寄与を組み合わせることで、3つの独立結合定数を持つ形に導出する。
• 楕円型の場合の $G_2$ モデルに対して、長根に基づく新しい関数セットを導入し、ラクス対の一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての単純根系（$E_8$ を含む）に基づくコラジェロ＝モーザー模型に対して、4種類の長距離ポテンシャルすべてについて普遍的ラクス対をどのように構築できるか？
• RQ2 ディンキン図の自己同型とポテンシャルの周期性の相互作用によって、楕円型コラジェロ＝モーザー模型にどのような離散的対称性が生じるか？
• RQ3 これらの対称性に基づく折りたたみ手順を用いて、単純根系モデルからねじれ非単純根系コラジェロ＝モーザー模型をどのように生成できるか？
• RQ4 非ねじれ非単純根系モデルにおける、長根と短根のそれぞれに基づく独立結合定数を持つルート型ラクス対の構造はいかなるものか？
• RQ5 $G_2$ モデルは、特に楕円型ポテンシャルの場合に、ラクス対構築においてどのように異なっているか。新しい関数の必要性は何か？

主な発見

• すべての単純根系（$E_8$ を含む）に対して、有理型、三角関数型、双曲型、楕円型ポテンシャル（スペクトルパラメータ有無を含む）すべてについて、普遍的ルート型および最小型ラクス対が構築された。
• 拡張されたディンキン図の自己同型から生じる離散的対称性と、楕円型ポテンシャルの周期性を組み合わせることで、折りたたみによってねじれ非単純根系コラジェロ＝モーザー模型が導出可能である。
• $BC_n$ モデルには、長根、中間根、短根に対応する3つの独立結合定数があることが示され、短根に対する再正規化結合定数 ${\tilde{g}_s}^2 = g_s(g_s + g_L/2)$ を含むハミルトニアンが含まれる。
• 非ねじれ非単純根系モデルに対するルート型ラクス対は、長根および短根の両方を基に構築され、単純根系の場合の一般化であり、独立結合定数の許容を可能にする。
• $G_2$ モデル（長根に基づく）は、楕円型ポテンシャルの場合にラクス対に新しい関数セットを必要とし、それが明示的に構築され、一貫性が示された。
• $G_2$ モデルの楕円型ポテンシャルに対するラクス対の一貫性は、これらの新しい関数の導入がなければ達成できず、この場合に特有の構造的特徴が示された。