[論文レビュー] Cancellation for inclusions of C*-algebras of finite depth

Ja A Jeong, Hiroyuki Osaka+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、C*-代数の包含写像が有限深さである場合のキャンセレーションを確立する。具体的には、単位的C*-代数$A$が位相的安定スカラー1および性質(SP)を満たすならば、インデックスが有限型の条件付き期待値を伴う有限深さの包含写像$A \to B$に対して、$B$がキャンセレーションを満たすことを示す。主な結果は、クローズド積へと拡張可能である：有限群作用が単位的で単純な$A$に作用し、$ \mathrm{tsr}(A)=1$および性質(SP)を満たす場合、クローズド積$A \rtimes_\alpha G$はキャンセレーションを満たす。また、$K_0$作用が自明な外部$ \mathbb{Z}$作用に対しては、$A \rtimes_\alpha \mathbb{Z}$もキャンセレーションを満たす。

ABSTRACT

Let B be a unital C*-algebra, let A be a unital subalgebra, and let E be a conditional expectation from B to A with index-finite type and a quasi-basis of n elements. Then the topological stable rank satisfies sr (B) \leq sr (A) + n - 1. As an application, we show that if a unital inclusion A \subset B of C*-algebras has index-finite type and finite depth, and A is simple with stable rank one and Property (SP), then B has cancellation. In particular, if A is a simple unital C*-algebra with stable rank one and Property (SP), and a finite group G acts on A, then the crossed product has cancellation. Separately, if the group is the integers, we obtain cancellation under the additional hypotheses that the group action is outer and is trivial on K_0 (A).

研究の動機と目的

• インデックスが有限型の条件付き期待値を伴う有限深さのC*-代数の包含写像に対して、キャンセレーションを確立すること。
• 単位的で単純な$A$に対して$ \mathrm{tsr}(A)=1$および性質(SP)を満たす有限群作用$ \alpha$に関するクローズド積$A \rtimes_\alpha G$のキャンセレーション結果を拡張すること。
• 外部$ \mathbb{Z}$作用$ \alpha$が$K_0(A)$上で恒等写像$ \alpha_* = \mathrm{id}$をなす場合、$A \rtimes_\alpha \mathbb{Z}$のキャンセレーションを証明すること。Rokhlin性質がなくても成立する。
• 包含写像に特定の構造的条件が満たされている場合、位相的安定スカラーの上界がキャンセレーションを導くことを示すこと。

提案手法

• 位相的安定スカラーの上界を確立する：単位的包含写像$A \subset B$がインデックスが有限型の条件付き期待値と$n$個の擬基底を持つ場合、$\mathrm{tsr}(B) \leq \mathrm{tsr}(A) + n - 1$が成り立つ。
• ブラックダールの基準を用いる：単純なC*-代数が、スペクトル射影が任意に小さい非ゼロ射影の集合$P$と、$\mathrm{tsr}(pBp)$が一様に有界であるようなものを持つならば、$B$はキャンセレーションを満たす。
• この$\mathrm{tsr}(B)$の上界を用いて、$M_\infty(A)$内の射影について$\sup_{p \in P} \mathrm{tsr}(pBp) < \infty$を示し、ブラックダールの条件を満たすことを確認する。
• $\mathbb{Z}$-クローズド積の場合、$\alpha_*$が$K_0(A)$上で自明であることを利用して、自己同型をユニタリにより共轭化し、制御可能なクローズド積構造に還元する。
• 既知のAH代数およびUHF代数に関する$\mathrm{tsr}$および実数階数の結果を活用し、$A$に関する条件を検証する。
• クローズド積の構造とRokhlin型分解を用いて、$\mathrm{tsr}(pBp)$を2で上から抑える。これにより、キャンセレーションに必要な一様有界性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位的包含写像$A \subset B$がインデックスが有限型の条件付き期待値を伴う場合、$B$がキャンセレーションを満たすための条件は何か？
• RQ2 単位的で単純な$A$に対して$ \mathrm{tsr}(A) = 1$および性質(SP)を満たす場合、有限群作用$ \alpha$に関するクローズド積$A \rtimes_\alpha G$はキャンセレーションを満たすか？
• RQ3 外部$ \mathbb{Z}$作用$ \alpha$が$K_0(A)$上で$ \alpha_* = \mathrm{id}$を満たす場合、Rokhlin性質がなくても$A \rtimes_\alpha \mathbb{Z}$のキャンセレーションは成立するか？
• RQ4 単位的で単純な$A$が$ \mathrm{tsr}(A) = 1$および性質(SP)を満たす場合、有限深さの包含写像においてキャンセレーションは保存されるか？
• RQ5 位相的安定スカラーの上界$ \mathrm{tsr}(B) \leq \mathrm{tsr}(A) + n - 1$は、有限深さの包含写像においてキャンセレーションを導くために用いることができるか？

主な発見

• 単位的包含写像$A \subset B$が忠実なインデックスが有限型の条件付き期待値と$n$個の擬基底を持つ場合、$\mathrm{tsr}(B) \leq \mathrm{tsr}(A) + n - 1$が成り立つ。
• もし$A$が単純で単位的、$ \mathrm{tsr}(A) = 1$、かつ性質(SP)を満たすならば、インデックスが有限型の有限深さの包含写像$A \subset B$に対して、$B$はキャンセレーションを満たす。
• 任意の有限群作用$ \alpha$が単位的で単純な$A$に作用し、$ \mathrm{tsr}(A) = 1$および性質(SP)を満たす場合、クローズド積$A \rtimes_\alpha G$はキャンセレーションを満たす。
• 外部$ \mathbb{Z}$作用$ \alpha$が$A$に作用し、$K_0(A)$上で$ \alpha_* = \mathrm{id}$を満たす場合、クローズド積$A \rtimes_\alpha \mathbb{Z}$はキャンセレーションを満たす。
• もし$A$が実数階数0およびゆっくりとした次元成長を示す単位的で単純なAH代数であるならば、任意の有限群作用$ \alpha$に対して$A \rtimes_\alpha G$はキャンセレーションを満たす。
• $A \rtimes_\alpha \mathbb{Z}$において$ \alpha_*$が$K_0(A)$上で自明である場合、すべての非ゼロ射影$p \in M_\infty(A)$に対して$\mathrm{tsr}(pBp) \leq 2$が成り立つ。これにより、キャンセレーションに必要な一様有界性が保証される。