[論文レビュー] Cartier isomorphism for unital associative algebras

D. Kaledin|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特性 ≠ 2 の体上の単位的結合的代数に対して、カルティエ同型写像の非可換一般化を確立する。関手的群 $BHH_\bullet(A)$、$ZHH_\bullet(A)$ を構成し、Frobenius-半線形写像 $C: ZHH_\bullet(A)/BHH_\bullet(A) \to HH_\bullet(A)$ を定義する。これは $A$ が可換かつ滑らかである場合に古典的カルティエ同型写像を回復する。この写像は、非可換設定へのホッフシュライブ＝コスタント＝ローゼンバーグ理論の拡張という新しい枠組みに基づく。

ABSTRACT

Given an associative unital algebra $A$ over a perfect field $k$ of odd positive characteristic, we construct a non-commutative generalization of the Cartier isomorphism for $A$. The role of differential forms is played by Hochschild homology classes, and de Rham diferential is replaced with the Connes-Tsygan differential.

研究の動機と目的

• 正の特性における de Rham コホモロジーと微分形式の同型写像である古典的カルティエ同型写像を、任意の単位的結合的代数へ拡張すること。
• サイクルホッフシュリング群 $ZHH_\bullet(A)$ と $BHH_\bullet(A)$ を用いて、閉形式および完全形式の空間の非可換類似物を定義すること。
• 非可換設定におけるカルティエ写像を一般化するFrobenius-半線形同型写像 $C$ を構成すること。
• $A$ が可換かつ滑らかである場合に、この一般化されたカルティエ写像が古典的ものに還元されることを証明し、ホッフシュライブ＝コスタント＝ローゼンバーグ理論と整合性を保つこと。

提案手法

• Connes-Tsygan の微分作用素 $B$ 及びその因子分解を表す写像 $\xi$ と $\beta$ を用いて、ホッフシュリングコホモロジー $HH_\bullet(A)$ の部分商として $BHH_\bullet(A)$ と $ZHH_\bullet(A)$ を定義する。
• 序列 $BHH_\bullet(A) \xrightarrow{\xi} ZHH_\bullet(A) \xrightarrow{C} HH_\bullet(A) \xrightarrow{\beta} BHH_{\bullet+1}(A)$ を含む長完全系列を導入し、$C$ を中心的な非可換カルティエ写像とする。
• $C$ が Frobenius-半線形かつ関手的であることを確立し、局所化および基底拡張と整合することを保証する。
• 滑らかな可換代数 $A$ に対して、ホッフシュライブ＝コスタント＝ローゼンバーグ同型写像 $HH_i(A) \cong \Omega^i(X)$ を用いて、非可換構成と古典的ケースの比較を行う。
• 古典的カルティエ同型写像と新しい非可換写像が可換ケースで一致することを示す。具体的には $C^{-1}$ が $\zeta$ を通して因数分解され、$zHH_\bullet(A) = z'HH_\bullet(A)$ が成り立つことを証明する。
• 帰納法および $\zeta$ の単射性に関する議論を用いて、$\xi$ が単射かつ $\beta$ が全射であることを示し、系列の完全性および構成の整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性における de Rham コホモロジーと微分形式の関係を示す古典的カルティエ同型写像を、非可換結合的代数へ一般化できるか？
• RQ2 この設定における閉形式および完全形式の空間の適切な非可換類似物は何か？
• RQ3 Connes-Tsygan の微分作用素 $B$ をどのように因数分解すれば、非可換カルティエ写像 $C$ を分離できるか？
• RQ4 提案された非可換カルティエ写像は、滑らかな可換代数に適用した場合に、古典的ものに還元されるか？
• RQ5 一般化されたカルティエ写像は非可換設定において Frobenius-半線形かつ関手的か？

主な発見

• 本稿は、特性 ≠ 2 の体上の任意の単位的結合的代数 $A$ に対して、Frobenius-半線形かつ関手的である非可換カルティエ写像 $C: ZHH_\bullet(A)/BHH_\bullet(A) \to HH_\bullet(A)$ を構成する。
• 写像 $C$ は、$BHH_\bullet(A)$、$ZHH_\bullet(A)$、$HH_\bullet(A)$ を含む自然な長完全系列に含まれており、$C$ が中心的な同型写像である。
• ホッフシュライブ＝コスタント＝ローゼンバーグの場合、すなわち $A$ が可換かつ滑らかであるとき、群 $BHH_\bullet(A)$ と $ZHH_\bullet(A)$ は古典的空間 $B^\bullet(X)$ および $Z^\bullet(X)$（完全形式および閉形式の空間）に一致する。
• 一般化されたカルティエ写像 $C$ は、可換かつ滑らかな場合に古典的カルティエ同型写像を回復する。これは $C^{-1}$ が $\zeta$ を通して因数分解され、$zHH_\bullet(A) = z'HH_\bullet(A)$ が成り立つことによって示される。
• $\zeta: ZHH_\bullet(A) \to HH_\bullet(A)$ は単射であり、$\beta: HH_\bullet(A) \to BHH_{\bullet+1}(A)$ は全射である。これにより系列の完全性および構成の整合性が保証される。
• 証明は帰納法および単射性に関する議論に依拠しており、$\zeta$ が $ZHH_\bullet(A)$ 上で単射であることを示す。これは $\zeta(a) = 0$ ならば $a = 0$ であることを意味し、写像の一意性および正しさが確認される。